Si $A$ es una matriz cuadrada tal que $A^{27}=A^{64}=I$ entonces $A=I$

Question

Si $A$ es una matriz cuadrada tal que $A^{27}=A^{64}=I$ entonces $A=I$ .

Lo que hice es restar yo de ambos lados de la ecuación:

$$A^{27}-I=A^{64}-I=0$$

entonces:

\begin {alineado*} A^{27}-I &= (A-I)(A+A^2+A^3+ \dots +A^{26})=0 \\ A^{64}-I &= (A-I)(A+A^2+A^3+ \dots +A^{63})=0. \end {alineado*}

Así que por lo que entiendo, o bien $A=I$ (según sea necesario) o $A+A^2+A^3+ \dots +A^{26}=0$ o $A+A^2+A^3+ \dots +A^{63}=0$ .

En este punto me quedé atascado. Por cierto, descubrí que $A$ es una matriz invertible porque si $A^{27}=I$ entonces también $A^{26}A=AA^{26}=I$ entonces $A^{26}=A^{-1}$ .

También pensé en usar la contradicción probando asumiendo que $A+A^2+A^3+ \dots +A^{63}=0$ sino porque $A^{27}=I$ entonces: $$A+A^2+A^3+ \dots +A^{26}+I+A^{28}+ \dots +A^{53}+I+A^{55}+ \dots +A^{63}=0$$ pero aún así nada.

Apreciaría su guía, ¡gracias!

Answer 1

En primer lugar, desde $A A^{26} = A^{26}A=I$ Entonces $A$ es una matriz invertible.

Utiliza el hecho de que $ \gcd (27,64)=1$ Por lo tanto, existen algunos $a,b \in \Bbb {Z}$ de tal manera que $1=27a+64b$ . Ahora, computa $$A=A^1=A^{27a+64b}=(A^{27})^a(A^{64})^b=I^aI^b=I$$

Answer 2

\begin {alineado*} & I = A^{64} = A^{2(27) + 10} = (A^{27})^2A^{10} = A^{10} \\ \implies & I = A^{27} = A^{2(10) + 7} = (A^{10})^2A^7 = A^7 \\ \implies & I = A^{10} = A^{1(7)+3} = (A^7)^1A^3 = A^3 \\ \implies & I = A^7 = A^{2(3) + 1} = (A^3)^2A = A. \end {alineado*}

Esto no es más que el algoritmo euclidiano aplicado a los exponentes. El mismo procedimiento puede ser usado para mostrar que si $A^p = I$ y $A^q = I$ con $p$ y $q$ coprimo, entonces $A = I$ .

Answer 3

Pista: si la matriz $A$ tiene eigenpair $( \lambda , v )$ Entonces $A^{27}$ y $A^{64}$ tienen eigenpares $( \lambda ^{27}, v)$ y $( \lambda ^{64}, v)$ . Al mismo tiempo $A^{27} v = A^{64} v = 1 \cdot v$ . ¿Podría proceder desde aquí?