Bijección de (0,1) a [0,1)

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta:

Deje que $f:(0,1) \to [0,1)$ y $g:[0,1) \to (0,1)$ ser mapas definidos como

$f(x)=x$ y $g(x)= \frac {x+1}{2}$ . Use estos mapas para construir una bijección $h:(0,1) \to [0,1)$

Ya he probado que estos mapas son inyectables, y siguiendo las otras preguntas del sitio como

La bijección continua de $(0,1)$ a $[0,1]$

[¿Cómo puedo definir una bijección entre $(0,1)$ y $(0,1]$ ?](http://math.stackexchange.com/questions/160738/how-do-i-define-a-bijection-between-0-1-and-0-1?rq=1)

Creo que puedo encontrar tal $h$ pero el problema es que tenemos que usar sólo $f$ y $g$ para construir $h$ .

Necesito ayuda.

Muchas gracias.

Answer 1

Si $x$ tiene forma $1-\frac{1}{2^n}$ , donde $n$ es un número entero no negativo, sea $H(x)=g(x)$ . De lo contrario, deja que $H(x)=f(x)$ .

Esto da una biyección en la dirección "equivocada". Toma la inversa.

Answer 2

La respuesta hábil es

Dado que cada uno de $f$ y $g$ son claramente inyectivas, aplique la Teorema de Cantor-Bernstein a $f$ y $g$ . Esto da una biyección $(0,1)\to[0,1)$ .

Puede estar implícito en la pregunta que se supone que hay que "darle a la manivela" de la prueba de Cantor-Bernstein para encontrar una descripción explícita de la biyección particular que produce. En ese caso, empezarías por encontrar la rangos (no sólo el dominio) de $f$ y $g$ , a saber $(0,1)$ y $[\frac12,1)$ .

Lo que suceda a continuación depende de los detalles de la prueba de Cantor-Bernstein con la que estés trabajando, pero en una de las más fáciles de aplicar aquí, buscamos la parte de $[0,1)$ que no está en el rango de $f$ que es el singleton $\{0\}$ . Si iteramos $f\circ g$ sobre esto, obtenemos $A=\{1-2^{-n}\mid n\in \mathbb N\}$ . Entonces la biyección $H:[0,1)\to(0,1)$ es $$ H(x) = \begin{cases} g(x) & x\in A \\ f^{-1}(x) & x\notin A \end{cases} $$ Ahora desdoble esta definición e inviértala para obtener $h$ .