Hilbert función de un monomio ideal generado por el grado dos de la plaza libre monomials

Question

Deje $R=K[x_1,...,x_n]$ ser un polinomio de anillo sobre un campo $K$ (uno puede asumir $K$ es el campo de los números complejos).
Deje $I=\langle m_1,...,m_l\rangle= \oplus I_j$ (donde $I_j$ $j^{th}$ pieza clasificada de $I$ $m_i$ son de grado dos plaza libre monomials).
¿Qué es $K$-dimensión de la $R_j/I_j ?$

Answer 1

Tengo dudas de que va a obtener una respuesta satisfactoria. La razón es que éste (por ejemplo, la de Hilbert-Poincaré de la serie), depende profundamente sobre las divisiones entre los (factores de la) $m_i$. Las siguientes obras para explícita y no demasiado largas secuencias de $m_1,\dots m_l$, pero no es lo suficientemente bueno para una respuesta general. $\newcommand{\HP}{\mathrm{HP}}$ Podemos y debemos hacer uso de la siguiente.

Vamos $A = K[x_1,\dots x_n]$, $\mathfrak{a}\subset A$ un ideal y $f\in A$ un elemento homogéneo de grado $d$. Entonces $$\HP_{A/(\mathfrak{a}+(f))}(t) = \HP_{A/\mathfrak{a}}(t)-t^d\HP_{A/(\mathfrak{a}:(f))}(t).$$

Definir $\mathfrak{a}_i := (m_i,m_{i+1},\dots m_l)$$\mathfrak{b}_i := \mathfrak{a}_i : (m_{i-1})$. Luego nos inductivamente obtener $$\HP_{A/\mathfrak{a}_1} = \HP_{A/\mathfrak{a}_2}(t)-t^2\HP_{A/(\mathfrak{a}_2:(m_1))}(t) = ...\\=\HP_{A}(t)-t^2\sum_{i=1}^l\HP_{A/\mathfrak{b}_{i+1}}(t).$$

Ahora bien, si tratamos de calcular $\HP_{A/\mathfrak{b}_{i}}(t)$, obtenemos una fórmula similar, pero los ideales que intervienen ser menos predecible.

Podemos descomponer $\mathfrak{b}_i = \mathfrak{a}_{i+1}:(m_i)$ en un grado uno y un grado de dos partes. El grado de una parte se genera por cierto $x_k$, $k\in I_i$, y el grado de la dos parte es generado por $\mathfrak{a}_{i+1}$, de nuevo. Sin embargo, si tomamos solamente el $m_j$, $j\geq i+1$, que no se dividen por cualquier $x_k$, $k\in I_i$, es decir, $\mathfrak{c}_{i} := (m_j\mid j\geq i+1;\,x_k\nmid m_j\forall k\in I_i)$,$\mathfrak{c}_{i}:(x_k) = \mathfrak{c}_{i}$, por lo que $$\HP_{A/\mathfrak{b}_{i}}(t) = (1+|I_i|t)\HP_{A/\mathfrak{c}_{i}}.$$

Hemos reducido el problema a ($l$ veces) el mismo problema con un corto ideal, generado por una larga de $m_1,\dots m_l$. Esto hace que el anterior algoritmo, pero no es lo suficientemente bueno como para dar una representación limpia de Hilbert-Poincaré de la serie. Es lo mejor que puedo hacer a menos que usted me diga que el $m_i$ son una secuencia regular o me dan una explícita.

Por ejemplo, si $m_1,\dots m_l$ es una secuencia regular, entonces $$\HP_{A/(m_1,\dots m_l)}(t) = \frac{(1-t^2)^l}{(1-t)^n}.$$ El $i$-ésimo coeficiente de $(1-t)^{-n}$$\binom{n+i-1}{n-1}$$(1-t^2)^l = \sum_{i=0}^l\binom{l}{i}(-1)^it^{2i}$. Por lo tanto $$\dim_K((A/(m_1,\dots m_l))_k) = \sum_{i+2j=k}(-1)^{j}\binom{l}{j}\binom{n+i-1}{n-1}.$$

Answer 2

Como Ben, no creo que usted va a obtener una respuesta satisfactoria. Más precisamente, voy a demostrar que calcular el grado del polinomio de Hilbert es equivalente a calcular el tamaño de la máxima camarilla de un gráfico. Desde el último problema es NP-DURO, si usted tuvo una descripción de la polinomio de Hilbert que fue explícito y lo suficientemente corto como para leer fácilmente fuera de la medida, no se habría resuelto MAX-CAMARILLA y muestra P=NP, que se espera no ser cierto.

Definir un gráfico de $\Gamma$ con vértices $\{ 1,2,\ldots, n \}$ y un borde de $(i,j)$ si y sólo si $x_i x_j$ NO está en el ideal de $I$. A continuación, una base para $R/I$ es el monomials que se admiten en las camarillas de $\Gamma$. Dada la camarilla $C$, el número de grados $d$ monomials con el apoyo, precisamente,$C$$\binom{d-1}{|C|-1}$. (Por ejemplo, si $C = \{ i, j \}$, entonces estamos hablando acerca de la $d-1$ monomials $x_1^{d-1} x_2$, $x_1^{d-2} x_2^2$, ..., $x_1 x_2^{d-1}$.)

Dejando $\mathcal{C}$ el conjunto de las camarillas de $\Gamma$, vemos que la Función de hilbert es $$h(d) = \sum_{C \in \mathcal{C}} \binom{d-1}{|C|-1}$$ Así que un clique de tamaño $C$ contribuye un polinomio de grado $|C|-1$, y vemos que el grado del polinomio de Hilbert es el tamaño de la más grande de la camarilla.

Answer 3

Deje $R/I$ ser un completo intersección donde $I=(f_1,...,f_g)$. A continuación, $$\text{HS}(R/I,t)= \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^{g}(1-t^{e_i})}{(1-t)^{n+1}}$$ donde $e_i := \deg(f_i)$.

Y así, de acuerdo a lo anterior, la función de Hilbert es en realidad el coeficiente de $t^j$ en la generación de función (expandir el producto, etc).