Si $X$ es un conjunto infinito y existe una inyección de $X \to \mathbb{N}$, es que hay también un bijection?

Question

Pregunta completa en el título. A mí me parece que la respuesta es sí, porque sólo podemos pedir los números en la imagen de la función de partida desde el que menos, y luego hay 1-1 (¿hay?) correspondencia con $\{1, 2, 3 , \dots \}$, pero obviamente esto no es un argumento riguroso. Se agradece la ayuda.

Answer 1

Sí. Si hay una inyección de $f\colon X\to\mathbb N$ podemos definir los siguientes:

$$g(x) = |\{y\in X\mid f(y)<f(x)\}|$$

Donde $|A|$ denota la cardinalidad de a $A$. Esta es una buena definición de la función debido a la $g(x)$ es la cardinalidad de un conjunto acotado de números naturales, y por lo tanto es un número natural en sí mismo.

Podemos demostrar por inducción que $g$ es inyectiva, y que su rango es un segmento inicial de $\mathbb N$. Si $X$ es infinito, $g$ es también surjective, porque sólo hay un segmento inicial de $\mathbb N$ que es infinito... $\mathbb N$.