Si $S \times \Bbb{R}$ es homeomórficos a $T \times \Bbb{R}$ y $S$ es compacto, podemos concluir que $T$ es compacto?

Question

Supongamos $S$ y $T$ están conectados a los colectores de tal forma que: 1) $S \times \mathbb{R}$ es homeomórficos a $T \times \mathbb{R}$, 2) $S$ es compacto. podemos concluir que $T$ es compacto?

Answer 1

Desde $S$ y $T$ conectados localmente, podemos con pérdida de generalidad supongamos que $S$ y $T$ están conectados. Ahora $S \times \mathbb R$ y por tanto $T \times \mathbb R$ tienen exactamente dos extremos.

Conectado y conectado localmente espacio es compacto iff no tiene extremos. Supongamos que $T$ no es compacto, entonces habría al menos uno de los extremos. Ahora, el producto $T \times \mathbb R$ tendría exactamente un fin, que es el deseado contradicción.