De orden superior correcciones a punto de silla de aproximación

Question

Me gustaría pedir consejos de cómo obtener un mayor orden correcciones de las aproximaciones obtenidas por la silla método de punto. Las referencias serán también bienvenidos. Por desgracia, lo que aparece al buscar en google es más que nada por costumbre, líder de la orden de aproximación.

Déjame mostrarte mi idea de cómo hacerlo. Considere la posibilidad de una integral $I(t)= \int_{\mathbb R} e^{tx^2 - x^4} dx$. Estoy interesado en el límite de $t \to \infty$ a través de valores complejos. Mi idea es ampliar el cuarto grado en la exponencial alrededor de su punto fijo $x_0$ $a+b(x-x_0)^2-x^4$ y reemplace$e^{-x^4}$$1-x^4$. El resultado es que puedo conseguir el correcto orden de líder en el comportamiento, pero mal junto al líder de la orden corection para algunos valores de argumento de $t$. Sé que el próximo líder de fin de término es incorrecto, porque sé que la forma exacta de esta integral en términos de funciones de Bessel y asymptotics de estos son conocidos.

Answer 1

Muy instructiva de referencia de esta es la sección 4.7 de Miller Aplicada Análisis Asintótico que realiza el análogo de análisis para determinar el comportamiento asintótico de la función de Airy. Llevar a cabo el análisis completo de su integral sería demasiado para una respuesta aquí, así que me voy a dar un contorno y la correspondiente sección de referencias en el libro.

Primero escribo $t = re^{i\theta}$$r \geq 0$, y el sustituto de $x = \sqrt{r} y$ para obtener

$$ I(t) = \sqrt{r}\int_{\mathbb R} \exp\!\a la izquierda\{ r^2 \left(e^{i\theta} y^2-y^4\right)\right\}dy. $$

El exponente de la función de $\varphi_\theta(y) = e^{i\theta}y^2 - y^4$ tiene tres puntos de silla de $y = y^*$,$y^*=0$) y uno en cualquiera de las soluciones de $(y^*)^2 = e^{i\theta}/2$.

Dependiendo del valor de theta, uno (o más) de estos puntos de silla de $y^*$ $\varphi_\theta$ va a dominar a los demás y determinar la asymptotics. Esto se conoce como la Stokes fenómeno. El proceso de determinar en qué punto de silla domina se describe en la sección 4.7 del libro.

Una vez que el correspondiente de puntos de silla se determinan queda aplicar el método de la empinada bajada, como se describe en las secciones 4.2 a través de 4.4. La idea básica es que, tras el correspondiente contorno ha sido elegido aplicar el método de Laplace como se describe en la sección 3.4.

Este proceso produce una completa asintótico de expansión, que es válido como $r \to \infty$ fijos $\theta$.