Covarianza de $X^2$ y $X^3$ cuando $X$ se distribuye exponencialmente

Question

Aquí está mi trabajo....

$\begin{align*} Cov(Y,Z) &= E(YZ) - E(Y)E(Z)\\ &= E(X^2\cdot X^3) - E(X^2)E(X^3)\\ &= E(X^5) - E(X^2)E(X^3) \end{align*}$

Y sabemos $E(X^n) = \frac{n!}{\lambda^n}$ Así que..,

$\begin{align*} Cov(Y,Z) &= \frac{5!}{\lambda^5} - \frac{2!}{\lambda^2}\cdot \frac{3!}{\lambda^3}\\ &= \frac{120}{\lambda^5} - \frac{12}{\lambda^5}\\ &= \frac{108}{\lambda^5} \end{align*}$

¿Le parece correcto? Gracias.

Answer 1

Tu respuesta parece correcta, aunque quizás quieras probar la identidad $E(x^n) = {n! \over \lambda^n}$ . Si quieres una prueba divertida (suponiendo que x ~ $\lambda e^{-\lambda x}$ ):

$$ E(x^n) = \lambda \int^\infty_0 x^n e^{- \lambda x} dx \\ = \lambda \int^\infty_0 \left((-1)^n {d^n \over d \lambda^n} e^{-\lambda x} \right) dx\\ = (-1)^n \lambda {d^n \over d \lambda^n} \int^\infty_0 e^{-\lambda x} dx \\ = (-1)^n \lambda {d^n \over d \lambda^n} {1 \over \lambda} \\ = {n! \over \lambda^n} $$

La tercera línea se deduce de la segunda porque la integración sobre x y la diferenciación WRT $\lambda$ es conmutativa.

Answer 2

Es correcto.

Si prueba el código R

set.seed(2014)
cases  <- 1000000
lambda <- 10
X      <- rexp(cases, lambda)
cov(X^2, X^3)

obtienes $0.001079931$ que está más cerca de $\dfrac{108}{10^5}$ de lo que tiene derecho a esperar