Semigroups definido por los subconjuntos de grupos

Question

En un grupo de $G$, el no vacía de subconjuntos de formar un semigroup (con identidad) bajo el usual de la multiplicación $ST=\{st \mid s\in S, t \in T\}$.

Este semigroup parece ser muy rica de información, por ejemplo si $G$ es finito el idempotents en este semigroup son exactamente los subgrupos de $G$. También para cualquier (no vacío) de un subconjunto $S$, hay un poder $S^n$ $S$ que es un idempotente, y así un subgrupo de $G$. si $S$ contiene la identidad, este sería el subgrupo generado por a $S$ (no sé qué pasaría si $S$ no contiene la identidad).

1) ¿hay cualquier intento de estudiar un semigroup, y sus relaciones con el grupo subyacente?

2) Si $G$ es finito, nuestro subconjuntos pueden ser identificados a los elementos del grupo de álgebra $\mathbb{Z}_2[G]$, la multiplicación en esta álgebra es algo diferente de la de arriba; uno se refiere a la información acerca de la semigroup de subconjuntos de a $G$ por estudiar únicamente el grupo de álgebra $\mathbb{Z}_2[G]$?.

Gracias de antemano.

Answer 1

La primera pregunta ha sido respondida por un enlace en los comentarios. Voy a publicar en una respuesta: ¿Qué podemos aprender acerca de un grupo por el estudio de sus monoid de subconjuntos?

De hecho, como la segunda respuesta a la pregunta dice, estos semigroups han sido estudiados. No se han estudiado mucho a causa de la dificultad-Lyapin temprana de libro en semigroups tiene un párrafo en el que el autor rechaza la construcción como demasiado difíciles de estudiar.

Me parece interesante que has pensado en el grupo de álgebra ya lo pensé demasiado. La pregunta que el enlace dirige a es en realidad la mía (voy a poner un boletín de noticias a pesar de haber eliminado mi cuenta), y se puede ver el proceso de pensamiento que me llevan a pensar sobre esto. El poder semigroup, como es llamado, es isomorfo a una cierta variación en el grupo de álgebra idea, con $\mathbb Z_2$ reemplazado por $(\{0,1\},\vee,\wedge)$ y el requisito de finito apoya caído. Con finito apoya obtener el llamado finitary poder semigroup (el semigroup si subconjuntos finitos), que también ha sido estudiada. Esto da la idea de pensar de los elementos de $\mathbb Z_2[G]$ como subconjuntos de a $G$ con una cierta divertido anillo (o álgebra) de la estructura. Me pareció fascinante cuando me di cuenta de ello y le pedí a un determinado profesor acerca de él, pero mi emoción fue sofocado por el profesor de la indiferencia. Poder semigroups son casi la única estructuras matemáticas I trabajo en el momento en que (comenzó con los enlaces en cuestión), pero nunca he visto ninguna mención de incluso la similitud de la energía semigroup de la construcción para el grupo de álgebra de la construcción en la literatura.

Para la pregunta sobre los pedidos en el comentario, usted puede encontrar esta pregunta muy interesante, ya que trata exactamente de que en $\mathbb N$.