El problema:
Deje $T >0$, y deje $(\Omega, \mathscr F, \{ \mathscr F_t \}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ ser un filtrado probabilidad espacio donde $\mathscr F_t = \mathscr F_t^W$ donde $W = \{W_t\}_{t \in [0,T]}$ estándar $\mathbb P$-movimiento Browniano.
Deje $X = \{X_t\}_{t \in [0,T]}$ ser un proceso estocástico donde $X_t = W_t + \sin t$, y deje $\mathbb Q$ ser un equivalente a la probabilidad de medidas.t. $X$ estándar $\mathbb Q$-movimiento Browniano.
Dar $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$.
Teorema De Girsanov:
Deje $T >0$, y deje $(\Omega, \mathscr F, \{ \mathscr F_t \}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ ser un filtrado probabilidad espacio donde $\mathscr F_t = \mathscr F_t^W$ donde $W = \{W_t\}_{t \in [0,T]}$ es el estándar $\mathbb P$-movimiento Browniano.
Deje que el Girsanov kernel $\{\theta_t\}_{t \in [0,T]}$ $\mathscr F_t$- adaptado proceso estocástico s.t. $\int_0^T \theta_s^2 ds < \infty$ .s. y $\{L_t\}_{t \in [0,T]}$ $( \mathscr F_t , \mathbb P)$ martingala donde
$$L_t := \exp(-\int_0^t \theta_s dW_s - \frac 1 2 \int_0^t \theta_s^2 ds)$$
Deje $\mathbb Q$ la probabilidad de medida definidos por
$$Q(A) = \int_A L_T dP \ \forall A \in \ \mathscr F$$
o $$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$
A continuación, $\{W_t^Q\}_{t \in [0,T]}$ definido por
$$W_t^Q := W_t + \int_0^t \theta_s ds$$
es estándar $\mathbb Q$-movimiento Browniano.
La solución dada:
$$X_t = W_t + \int_0^t \cos s ds$$
Deje $\theta_t = \cos t$:
Es $\mathscr F_t$-adaptado
$\int_0^T \theta_s^2 ds < \infty$ .s.
$E[\exp(\frac 1 2 \int_0^T \theta_t^2 dt)] < \infty$
A continuación, $\{L_t\}_{t \in [0,T]}$ $( \mathscr F_t , \mathbb P)$ martingala, por Novikov del estado, donde
$$L_t := \exp(-\int_0^t \cos s dW_s - \frac 1 2 \int_0^t \cos^2 s ds)$$
Por lo tanto, por el Teorema de Girsanov, tenemos
$$\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P} = L_T...?$$
¿Cómo funciona exactamente la última línea a seguir?
Lo que me parece extraño es que el Teorema de Girsanov define $\mathbb Q$ y, a continuación, concluye $X_t$ estándar $\mathbb Q$-movimiento Browniano, mientras que el problema dice que hay algunos $\mathbb Q$ s.t. $X_t$ estándar $\mathbb Q$-movimiento Browniano y luego se pregunta acerca de la $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$. Es el problema tal vez declaró mal?
Decir que $L_T$ es de hecho la densidad requerida $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$, creo que debemos usar el recíproco del Teorema de Girsanov (o aquí), o tal vez el problema en lugar de darnos $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ y, a continuación, pedir que nos muestran que $L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$, posiblemente, mostrando que $E[\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} | \mathscr F_t] = L_t$ o de alguna otra ruta.
He intentado algo ligeramente diferente:
Yo defino $\hat{\mathbb P}$ s.t.
$$L_T = \frac{d\hat{\mathbb P}}{d\mathbb P}$$
o
$$\hat{\mathbb P} = \int_A L_T d\mathbb P$$
Se sigue por el Teorema de Girsanov que $X_t$ estándar $\hat{\mathbb P}$-movimiento Browniano. Ya que estamos, dado que hay algunos $\mathbb Q$ equivalente a $\mathbb P$ s.t. $X_t$ también es estándar $\mathbb Q$-movimiento Browniano, sigue por la singularidad de la Radon-Nikodym derivados que
$$\frac{d\hat{\mathbb P}}{d\mathbb P} = \frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}$$
$\therefore, \frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}$ está dado por $L_T$.
Es ese derecho? Creo que me falta un paso en algún lugar.
Así que, es que, de hecho, lo que la solución dada está destinado a ser, pero sólo omite señalar la singularidad de la Radon-Nikodym derivados, si dicha justificación es correcta?
Edición basada en el comentario de abajo y esto: Incluso si Radon-Nikodym derivado es el único, $\mathbb Q$ puede no ser única? Si es así, entonces es que $\hat{\mathbb P}$ es meramente un candidato para uno de los muchos posibles $\mathbb Q$'s?
Creo que llegamos a la conclusión de $\hat{\mathbb P} = \mathbb Q$ $X_t$ estándar de movimiento Browniano en virtud de ambas medidas. Hay una propuesta para que? La singularidad de movimiento Browniano medida o algo?
