Cero del polinomio

Question

Posibles Duplicados:
Polinomio de grado $-\infty$?

Hoy en Álgebra Abstracta a mi instructor menciona brevemente que a veces el cero del polinomio se define que el grado de $-\infty$. Qué contextos han causado que esto se convierta en la convención?

Answer 1

Deje $f$ $g$ ser distinto de cero polinomios con coeficientes en algunos integral de dominio (como $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ o lo que sea). A continuación, definimos $\deg f$ a ser el mayor $n \ge 0$ de manera tal que el coeficiente de $x^n$ $f(x)$ es distinto de cero. Entonces $$\deg (f \cdot g) = \deg f + \deg g$$ y $$\deg (f + g) \le \max \{ \deg f, \deg g \}$$ Ahora si $f=0$$f \cdot g=0$. Nos gustaría definir $\deg 0$ de tal manera que obedece a las reglas anteriores. Bueno, para todos los polinomios $g$, tenemos $$\deg 0 = \deg (0 \cdot g) = \deg 0 + \deg g$$ Esto sólo es cierto para todos los $g$ si tomamos $\deg 0 = -\infty$ (o $\infty$, pero la segunda ecuación anterior significa que $-\infty$ tiene más sentido).

Answer 2

He aquí un punto de vista que pone la cuestión en el contexto mucho más amplio. En una discreta con valores de campo, como la $\mathbb{Q}$ $p$- valoración $v_p$ que cuenta la divisibilidad por el primer $p$, que se define de modo que $v_p(p)=1$ $v_p(m)=0$ para los números enteros primer a $p$, y como aditivo en el sentido de que $v_p(\lambda\mu)=v_p(\lambda)+v_p(\mu)$, es universal para extender $v$, de modo que $v(0)=+\infty$. A continuación, la relación $v(\lambda+\mu)\ge\min(v(\lambda),v(\mu))$ mantiene a lo largo del campo.

Bien, $\mathbb{Q}$ tiene muchos discretos valoraciones, también lo hace el campo $k(X)$ de funciones racionales sobre un campo $k$. Una buena valoración se define mediante el establecimiento, por un polinomio $P(X)$, $v(P)=-\deg(P)$, y se extiende por aditividad, de modo que ese $v(P/Q)=\deg(Q)-\deg(P)$ ambos $P$ $Q$ de los polinomios. Esta $v$ medidas de la zeroness de una función racional en $\infty$. Y de acuerdo con la práctica estándar para los valores de los campos, $v(0)=+\infty$, encajando perfectamente con la $\deg(0)=-\infty$.

Answer 3

La persistencia. Desea fórmulas para hacer sentido también cuando abusen de aplicarlas a los casos relacionados con el polinomio cero. Por ejemplo, tenemos $\deg(f\cdot g)=\deg f +\deg g$$\deg (f+g)\le \max\{\deg f, \deg g\}$. Por lo tanto se le asigna un valor simbólico - y sólo para mnemónico fines de $-\infty$ como el grado de $0$, ya que hace $-\infty =\deg(0\cdot g)=-\infty+\deg g$ $\deg g = \deg (0+g)=\max\{-\infty,\deg g\}$ trabajo.

Answer 4

Queremos $\deg(P\cdot Q)=\deg P+\deg Q$ por dos polinomios. En particular,$\deg\mathbf 0=\deg P+\deg\mathbf 0$, por lo que no puede tomar un número entero. $+\infty$ podría ser una opción como queramos $\deg(P+Q)\leq \max(\deg P,\deg Q)$, pero con la definición de $\deg((\alpha_j)_{j\geq 0}:=\sup\{k\geq 0\mid \alpha\neq 0\}$, tomamos un supremum más de un emptyset, así que nos tomamos $-\infty$.