Tienen a la gente trabajado con éxito con el círculo completo de diferential operadores en característica p?

Question

Esta pregunta está inspirada en un anterior acerca de la posibilidad de utilizar el anillo completo de operadores diferenciales sobre una bandera variedad para desarrollar una teoría de la localización en el carácter $p$. (Aquí por el círculo completo de operadores diferenciales quiero decir la misma cosa como el anillo de la división de potencia differenial los operadores, que es la terminología que se utiliza en la citada pregunta.)

Mi pregunta es:

¿La gente tiene experiencia en el uso del anillo completo de operadores diferenciales con éxito en el carácter $p$ (para la localización, o para otros fines)?

Siempre he encontrado este anillo un poco desagradable (sus secciones más afines no son Noetherian, y, si recuerdo correctamente un cálculo que hice hace mucho tiempo, la estructura de la gavilla ${\mathcal O}_X$ no es perfecta más de ${\mathcal D}_X$). Hay maneras de conseguir alrededor de estos defectos técnicos? (O estoy equivocado en la forma de pensar de ellos como de los defectos técnicos, o estoy Incluso me he equivocado acerca de ellos que se detenga por completo?)

EDIT: me permito añadir un poco más de motivación para mi pregunta, inspirado en parte por Hailong la respuesta y los comentarios asociados. Una característica general de los locales cohomology en char. p es que usted no tiene la sutil teoría de los polinomios de Bernstein de que usted tiene en char. 0. Ver, por ejemplo, el papel de Alvarez-Montaner, Blickle, y Lyubeznik citado por Hailong en su respuesta. Lo que no entiendo es si esto significa que (por ejemplo) la localización con el círculo completo de la diferencial de la ops es inútil (porque la respuesta sería demasiado simple), o una maravillosa perspectiva (porque la respuesta sería tan sencillo).

Answer 1

Smith y Van den Bergh trabajado con él, y tengo unos bonitos resultados, en este papel. Por ejemplo, para mostrar que directa sumandos del polinomio anillos simples anillos de operadores diferenciales en característica positiva. Esto es todavía abierto (que yo sepa) en el carácter 0.

Es particularmente interesante el papel de las conexiones que hace con la representación de los tipos.

Answer 2

Esto podría no ser lo que usted está buscando, ya que utilizan el real círculo completo de operadores diferenciales (en Berthelot, la teoría de su "círculo completo" sería de $D^{(0)}$, si he entendido bien), pero los siguientes documentos son muy hermosas en mi opinión:

Gieseker, D. - Flat vector de paquetes, y el grupo fundamental de la no-cero características.

dos Santos, João Pedro Pinto - grupo Fundamental de los esquemas de estratificado de las poleas. J. Álgebra 317 (2007), no. 2, 691--713.

Hélène Esnault, Vikram Mehta - Simplemente conectado proyectivas de los colectores en el carácter $p>0$ no tienen trivial estratificado haces

Usted, por supuesto notar muy rápidamente que en todos los casos, el D-Módulo de sabor se pierde, como un $O_X$coherente D-módulo puede ser traducido en el mundo de vector de paquetes gracias a Frobenius descenso.

Answer 3

Queridos Matt: Las personas que están trabajando activamente con esto que sé que son Genady Lyubeznik y Manuel Blickle. El punto clave parece ser que ciertos $R[F]$-módulos de ser más simples cuando se ve como $D_R$-módulos ($F$ es el Frobenius). Se ha aplicado para mostrar que ciertos locales cohomology módulos más regular que los anillos en característica positiva tiene un número finito de primos asociados. Ejemplos se encuentran en los siguientes documentos:

D-estructura del módulo de R[F]-módulos y

Generadores de D-módulos en característica positiva

y las referencias allí. También hay una nueva preprint que puedan ser de su interés.

Answer 4

Ciertamente, el hecho de que el anillo de operadores diferenciales no es Noetherian es un inconveniente, pero no está claro si es más que eso. Por ejemplo, uno puede definir la noción de holonomic módulo. No es una traducción directa de la característica cero definición (y este es, sin duda, a este inconveniente), pero una vez le parece funcionar tan bien como en característica cero:

MR1918185 (2003h:14030) Bögvad, Rikard(S-STOC) Un análogo de la holonomic D-módulos de la fluidez de las variedades de las características positivas. (Resumen en inglés). El Roos Festschrift volumen, 1. Homología Homotopy Appl. 4 (2002), no. 2, parte 1, 83-116. 14F10 (16S32 32C38)