Una función es $L^2$ -Diferenciable si y sólo si $\xi\widehat{f}(\xi) \in L^2$ .

Question

En este pregunta anterior, definí $L^p$ derivadas de funciones en $L^p(\mathbb{R}^n)$ . Llevo un tiempo luchando por demostrar lo siguiente:

Si $f \in L^2(\mathbb{R})$ entonces $f$ es $L^2$ -Diferenciable si y sólo si $\xi\widehat{f} \in L^2(\mathbb{R})$ , donde $\widehat{f}$ es la transformada de Fourier de $f$ . Cuando esto sucede, entonces $\widehat{f^{\prime}}(\xi) = 2\pi{}i\xi{}\widehat{f}(\xi)$ .

Este es mi problema. Digamos que primero intentamos demostrar que si $f'$ existe, entonces $\xi{}\widehat{f} \in L^2(\mathbb{R})$ . Bajo este supuesto, sabemos que $\widehat{f'}$ existe y está en $L^2$ por lo que bastaría con demostrar que es igual a $2\pi{}i\xi{}\widehat{f}$ . El ingenuo enfoque sería calcular

$$\widehat{f'}(\xi) = \int_{\mathbb{R}}f'(x)e^{\large -2\pi{}ix\xi}dx = ({2\pi{}ix\xi})\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{\large -2\pi{}ix\xi}dx = ({2\pi{}ix\xi})\widehat{f}(\xi),$$ y hemos terminado.

Pero creo (¡y por favor corregidme si me equivoco!) que hay dos errores fundamentales aquí:

$1$ ) La transformada de Fourier de un $L^2$ función $f$ no viene dada por la fórmula anterior, sino por un límite de las transformadas de Fourier (en la fórmula anterior) de (digamos) $L^1 \cap L^2$ funciones que convergen (en $L^2$ ) a $f$ .

$2$ ) La integración por partes anterior sólo es válida cuando la otra función, a saber $e^{\large -2\pi{}ix\xi}$ tiene un soporte compacto.

Entonces intenté aproximar $f'$ o $f$ por convoluciones y similares, pero siempre llego a una integral doble que no converge absolutamente, y tendría que intercambiar el orden de integración.

Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Empecemos por la dirección más fácil. Si $\xi \mapsto \xi\cdot\widehat{f}(\xi) \in L^2(\mathbb{R})$ entonces $f$ es $L^2$ -diferible, y $\widehat{f'}(\xi) = 2\pi i \xi\widehat{f}(\xi)$ .

Dejemos que $\tau_hf(x) = f(x+h)$ . Entonces $\widehat{\tau_hf}(\xi) = e^{2\pi ih\xi}\widehat{f}(\xi)$ y

$$\frac{\widehat{\tau_hf}-\widehat{f}}{h}(\xi) = \frac{e^{2\pi ih\xi}-1}{h}\widehat{f}(\xi) \to 2\pi i \xi\widehat{f}(\xi)$$

en sentido estricto, y puesto que

$$\left\lvert\frac{e^{2\pi ih\xi}-1}{h} \right\rvert \leqslant 2\pi \lvert \xi\rvert,$$

por el teorema de convergencia dominada también en $L^2$ .

Aplicando la transformada inversa de Fourier -que es una isometría de $L^2$ por el teorema de Plancherel - encontramos que

$$\frac{\tau_hf - f}{h} \xrightarrow{L^2} \mathcal{F}^{-1}(2\pi i \xi\widehat{f}),$$

es decir $f$ es $L^2$ -diferenciable con $f' = \mathcal{F}^{-1}(2\pi i \xi\widehat{f})$ .

Por el contrario, si $f$ es $L^2$ -Diferenciable, entonces por la continuidad de la transformada de Fourier tenemos

$$\frac{\widehat{\tau_hf}-\widehat{f}}{h}(\xi) = \frac{e^{2\pi ih\xi}-1}{h}\widehat{f}(\xi) \xrightarrow{L^2} \widehat{f'},$$

y como el lado izquierdo converge a $2\pi i \xi \widehat{f}(\xi)$ en el punto, llegamos a la conclusión de que $\xi \widehat{f}(\xi) \in L^2(\mathbb{R})$ .

Answer 2

Transcribiendo el comentario para responder:

Esto no responde a la pregunta original, sino al caso que planteas y a probar un método de aproximación.

Una forma habitual de atacarlas es multiplicar la integral por $g_\epsilon(x) = \exp\{-\epsilon |x|^2/2\}$ y que $\epsilon \to 0$ . Ahora has regularizado la frecuencia de Fourier contra la que estás integrando. Esta es una forma de definir la transformada de Fourier para un $L^2$ como ahora $fg_\epsilon \in L_1 \cap L_2$ con $fg_\epsilon \to f$ en $L^2$ . De esta manera tampoco hay que elegir si se aproxima $f$ o $f'$ .

La integración por partes es ahora claramente válida, y tomando $\epsilon \to 0$ te da el resultado.