Mostrar que $2 < e^{1/(n+1)} + e^{-1/n}$

Question

Estoy tratando de mostrar a $2 < e^{1/(n+1)} + e^{-1/n}$.

Puedo mostrar que $ 2 < e^{1/n} + e^{-1/(n+1)}$ desde

$$2 \leq 2\cosh\left(\frac{1}{n}\right) = e^{1/n} + e^{-1/n} < e^{1/n} + e^{-1/(n+1)}$$

pero todavía estoy teniendo problemas con el resto de la desigualdad. Yo, sin embargo, el uso de $\cosh$ nuevo podría ayudar, pero no puedo llegar a ninguna parte.

Answer 1

bueno, ya que

$$ \left(\frac1{4! n^4}-\frac1{5!n^5}\right)+\cdots+\left(\frac1{(4+2k)!n^{4+2k}} -\frac1{(4+2k+1)!n^{4+2k+1}}\right)>0 $$

y

$$ \left(\frac1{4! n^4}-\frac1{5!n^5}\right)+\cdots+\left(\frac1{(4+2k)!n^{4+k}} -\frac1{(4+2k+1)!n^{4+2k}}\right) +\frac1{(4+2k+2)!n^{4+2k+2}} >0 $$

a continuación,

$$\sum_{k\geq4}\frac{(-1)^k}{k!n^k}>0$$

tenemos (o el lema de abajo)

$$e^{-\frac1n}=1-\frac1n+\frac1{2n^2}-\frac1{6n^3}+\sum_{k\geq4}\frac{(-1)^k}{k!n^k}\gt 1-\frac1n+\frac1{2n^2}-\frac1{6n^3}$$

es obvio que

$$e^{\frac1{1+n}}\gt 1+\frac1{1+n}+\frac1{2{(1+n)^2}}+\frac1{6{(1+n)^3}}+ \frac1{24{(1+n)^4}}$$

si $n>2$, es fácil comprobar que

$$e^{-\frac1n}+e^{\frac1{1+n}}\gt 2-\frac1n+\frac1{2n^2}-\frac1{6n^3}+\frac1{1+n}+\frac1{2{(1+n)^2}}+\frac1{6{(1+n)^3}}+ \frac1{24{(1+n)^4}}\\ >2$$

De hecho

$$n^3(n+1)^3\left(-\frac1n+\frac1{2n^2}-\frac1{6n^3}+\frac1{1+n}+\frac1{2{(1+n)^2}}+\frac1{6{(1+n)^3}}+ \frac1{24{(1+n)^4}}\right)=\frac{n^3}{24(n+1)}-\frac16=\frac{n(n^2-4)-4}{24(n+1)}\gt0$$

editar: Lema $x\ne0$, $k$ es un número impar, entonces $$e^x\gt 1+x+\frac{x^2}{2!}+\dotsb+ \frac{x^k}{k!}$$ Prueba de $\qquad$ según la fórmula de Taylor, existe $\theta(0\lt\theta\lt1)$ tal que $$e^x= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\dotsb+ \frac{x^k}{k!}+\frac{e^{\theta x}}{(k+1)!}x^{k+1}$$