¿Qué teoría de integración usar?

Question

Hasta donde sé, la integral de Lebesgue generaliza la integral de Riemann. Un ingrediente clave para esta generalización es que la integral de Lebesgue divide el rango, no el dominio como en la teoría de Riemann, para obtener subconjuntos del dominio. La suma de medidas de los subconjuntos es la evaluación de la integral (definida). Una ventaja es que hay más libertad con la integral de Lebesgue que con la integral de Riemann (como intercambiar libremente límites y el signo integral, por ejemplo)

Mi pregunta es la siguiente: Si estoy trabajando con una integral (definida) que es integrable de Riemann, ¿podría ser útil aplicar la teoría de Lebesgue? Por ejemplo, supongamos que la integral es difícil de evaluar. ¿Podría considerar la integral como una integral de Lebesgue hacer más fácil la evaluación? No creo que esto ayudaría mucho con una integral indefinida ya que Lebesgue deriva el Teorema Fundamental del Cálculo de su teoría que es "igual” que la de la teoría de Riemann.

Answer 1

Tengo un caso estándar divertido en el que la integral de Lebesgue es trivial pero la integración de Riemann es un poco molesta:

$f(x)=1/q$ en $x$ racionales $p/q$ y $0$ en otro caso.

Es un poco de trabajo mostrar que esto es Riemann integrable, pero la integral de Lebesgue es cero ya que la función es cero casi en todas partes.

Esto no aborda adecuadamente la pregunta, estoy seguro, pero vale la pena señalarlo. Creo que el valor en la integración de Lebesgue está exactamente en los teoremas límite que mencionas, siendo la convergencia dominada la más útil.

Answer 2

Existen funciones integrables de Riemann que no son integrables de Lebesgue:

¿Tiene $ \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx $ una integral de Riemann impropia o una integral de Lebesgue?