Hardy y Wright mencionan ( aunque no dan una prueba ) que cualquier combinación finita de reales surds cuadráticos es un número algebraico. Por ejemplo $\sqrt{11+2\sqrt{7}}$ . ¿Son todas las combinaciones finitas de raíz cúbica, raíz cuarta ... $n^{th}$ raíz también algebraica como $\sqrt[3]{2+3\sqrt[7]{5+3\sqrt{6}}}+\sqrt[9]{2}$ .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La forma habitual de demostrarlo es utilizar algo de álgebra lineal básica.
Supongamos que $\alpha$ y $\beta$ son números algebraicos.
El campo $\mathbb Q[\alpha][\beta]$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb Q$ . Dejemos que $d$ sea la dimensión del espacio vectorial.
Entonces $1,\alpha+\beta,(\alpha+\beta)^2,\cdots,(\alpha+\beta)^d$ son $d+1$ elementos de ese espacio vectorial, y por tanto deben ser linealmente dependientes. Pero eso significa que $\alpha+\beta$ es la raíz de un polinomio racional de grado máximo $d$ .
Lo mismo para $\alpha\beta$ .
Más concretamente, si $\alpha$ es la raíz de un polinomio racional de grado $d_1$ y $\beta$ es la raíz de un polinomio racional de grado $d_2$ entonces $\alpha+\beta$ y $\alpha\beta$ son ambas raíces de un polinomio de grado máximo $d_1d_2$ .
Por último, si $\alpha$ es la raíz del polinomio racional $p(x)$ entonces $\sqrt[n]\alpha$ es una raíz de $p(x^n)$ .
Esto significa que $5+3\sqrt6$ es la raíz de un polinomio de grado $2$ y $3\sqrt[7]{5+3\sqrt6}$ es una raíz de un polinomio de grado $14$ y $\sqrt[3]{2+3\sqrt[7]{5+3\sqrt6}}$ es la raíz de un polinomio de grado $42$ y finalmente $\sqrt[3]{2+3\sqrt[7]{5+3\sqrt{6}}}+\sqrt[9]{2}$ es una raíz de un polinomio de grado $42\cdot 9=378$ . Podría haber un polinomio de menor grado, pero obtenemos este límite superior.
Hurkyl
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Creo que estás preguntando si una suma de dos números algebraicos es algebraica, donde "algebraico" se define como "la raíz de un polinomio con coeficientes racionales".
Aunque hay razones de álgebra lineal para que esto sea cierto, en realidad hay un buen cálculo directo en términos de resultantes.
Si $\alpha_i$ son las raíces de un polinomio $f$ y $\beta_j$ son las raíces de un polinomio $g$ , ambas con coeficientes racionales, entonces
$$ \prod_{i} \prod_j (x - (\alpha_i + \beta_j)) $$
cuando se expande, es un polinomio con coeficientes racionales. Este polinomio se puede calcular mediante un resultante :
$$ \operatorname{Res}_t(f(t), g(x-t)) $$
y otras formulaciones de la resultante hacen evidente que el resultado es un polinomio con coeficientes racionales.
Alternativamente, la teoría de Galois demuestra casi inmediatamente que el polinomio producto definido anteriormente tiene coeficientes racionales, porque el polinomio se conserva por cualquier permutación de la $\alpha$ y de la $\beta$ 's.
MrYouMath
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Shabaz
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Sí, puedes descomponerlos en un polinomio que satisfagan. Para tu ejemplo, podemos escribir $$x=\sqrt[3]{2+3\sqrt[7]{5+3\sqrt{6}}}\\x^3=2+3\sqrt[7]{5+3\sqrt{6}}\\\frac 13(x^3-2)=\sqrt[7]{5+3\sqrt{6}}\\\left(\frac 13(x^3-2)\right)^7=5+3\sqrt 6\\\frac 19\left(\left(\frac 13(x^3-2)\right)^7-5\right)^2-6=0$$
Nota: esto utiliza un ejemplo anterior en la pregunta. El planteamiento es el mismo. Nótese que los algebraicos son cerrados bajo las operaciones de campo, por lo que la suma de algebraicos es de nuevo algebraica.
justartem
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Los números algebraicos complejos son lo que se llama un campo algebraicamente cerrado:
esto implica que si $a_0,a_1,a_2,\dots, a_n$ son números algebraicos reales, entonces las raíces reales del polinomio $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$ son todos números algebraicos. Esto es mucho más fuerte de lo que necesitas.
