Aquí es una solución completa a la pregunta principal cuando $n$ y $q$ son ambos impares, y una solución parcial para los otros partidos. La solución parcial incluye una reducción para el caso $n=2$.
Deje que $\text{Tr}_k$ denotar la traza mapa de $\mathbb{F}_{p^n}$ $\mathbb{F}_{q^k}$, suponiendo que $k|n$.
La ecuación es
$a$z+z^q + z^{p^2} = x^{p^2+q+1} - xy^q - x^{p^2}y.$$
En primer lugar, hacer el cambio de variables $y \leftarrow -yx^{q^+1},$ por lo que la ecuación se convierte en
$a$z+z^q+z^{p^2} = x^{p^2+q+1}(y^p+y+1).$$
En segundo lugar, cuando $q$ es impar, podemos aclarar las cosas un poco con el cambio de variables $y \leftarrow y - \frac12$ a deshacerse de la constante. La imagen de la $p$-lineal de mapa $z \mapsto z + z^q + z^{p^2}$, actuando en $\mathbb{F}_{p^{3n}}$, se compone de los elementos $Z'$ tal que $\text{Tr}_3(z') = \text{Tr}_1(z')$. Cuando $z$ es alcanzado por el lado derecho, hay $p^2$ soluciones para $Z$. En el lado derecho, $y \mapsto y' = y^q+s$ es un $p$-lineal isomorfismo cuando $n$ es impar, mientras que cuando $n$ es, incluso, su imagen es el locus de $\text{Tr}_2(y') = \text{Tr}_1(y')$. Mientras tanto $y' \mapsto x^{p^2+q+1}y'$ es un $p$-lineal isomorfismo menos que $x=0$.
Así, cuando $n$ y $q$ son ambos impares, hay $(q^{3n}-q^2)(p^{3n}-1)$ soluciones con $x,y \ne 0$. Hay $p^2(2q^{3n}-1)$ más soluciones cuando uno de ellos es cero.
Cuando $q$ es impar y $n$ es par, entonces en principio diferentes $x' = x^{p^2 + q + 1}$ podría comportarse de forma diferente en la ecuación $z' = x''$. Fija de $x$, el conjunto de posibles $x''$ es cierto $p$-lineal hyperplane con codimension $1$, mientras que el conjunto de posibles $z$ es cierto $p$-lineal hyperplane con codimension $2$. En el caso especial de que $\{x i'\}$ $\{z'\}$, entonces $p^{3n+1}$ soluciones para que el valor de $x$. Para genéricos no-cero de los valores de $x$, $p^{3n}$ de soluciones. Dualize la hyperplanes con respecto a $\text{Tr}_1$. El doble de $\{y'\}$ es la línea $L$ de seguimiento 0 elementos de $\mathbb{F}_{p^2}$, mientras que el dual de $\{z'\}$ es el plano $P$ de seguimiento 0 elementos de $\mathbb{F}_{q^3}$. Mientras tanto $\{x\}$ es un subgrupo de $G$ de $\mathbb{F}_{p^{3n}}$ de índice $p^2+q+1$. Un valor especial de $x$ en este subgrupo es uno de esos que $x L \subconjunto de P$. A priori no estoy seguro de que nunca sucede. Lo que puedo decir es que si $x$ es especial, entonces debe estar en $\mathbb{F}_{q^6}$, por tanto $L$ y $P$ do. Así que usted puede reducir el conteo de problema para el caso de que $3n = 6$ o $n = 2$.
Si $p$ es par, entonces la ecuación es
$a$z' = x'(y'+1),$$
donde, como antes, $z' = z+z^q+z^{p^2}$ y $y' = y + y^q$. En este caso $n$ es un elemento con el cero de seguimiento, y en la doble línea de $L$ es de solo $\mathbb{F}_q$ sí misma. No he trabajado exactamente cómo se ve, pero supongo que se reduce al caso $n=1$ por las mismas razones que el anterior.
Último momento: no tengo ganas de cambiar todas las ecuaciones, pero me pregunto ahora si hay un doble cambio de las variables para poner el lado derecho en el formulario $y"(x^{p^2}+x)$. Creo que el mapa de $x \mapsto x^{p^2}+x$ siempre es no-singular cuando $q$ es impar.
Un comentario acerca de que el seguimiento de las condiciones de procedencia. Si $a$ es un elemento irreductible de $\mathbb{F}_{p^n}$, entonces el mapa de $x \mapsto x^p$ es una permutación cíclica de la matriz en la base de los conjugados de $a$. Un mapa, tales como $z \mapsto z+z^q+z^{p^2}$ es entonces una suma de distintos permutación de matrices y es fácil de calcular, su imagen y cokernel.
Algunas observaciones acerca de Jared segunda pregunta más general: C. f. la respuesta a esta otra mathoverflow pregunta acerca de recuento de puntos en variedades. Fijo $q$, la ecuación de una hipersuperficie es equivalente a una expresión Booleana, y puede que no haya mucho que se pueda hacer otra cosa que contar uno por uno. Hay varias estrategias que funcionan en la presencia de una estructura especial: puede utilizar la función zeta de la información, si la tienes, para extrapolar a grandes valores de $p$. Usted puede contar con los puntos de una variedad si por casualidad usted conoce que es lineal, o tal vez cuadrática, o el coset espacio de un grupo. Y puede utilizar el estándar de combinatoria contando trucos, que en la geometría algebraica forma de cantidad a mirar fibrations, imágenes ampliadas, inclusión-exclusión para edificable conjuntos, etc.
Esta variedad particular se descompone mucho porque puede ser realizada conjuntamente lineal en $Y$ y $Z$ y $X$ sólo entra en una forma multiplicativa.
