Simplifique $\mathbb{Q}(\pi^3+\pi^2, \pi^8+\pi^5)$

Question

Mi objetivo es escribir $\mathbb{Q}(\pi^3+\pi^2, \pi^8+\pi^5)$ como $\mathbb{Q}(f(\pi))$ donde $f \in \mathbb Q(X)$ .

Tengo $(\pi^3+\pi^2)^2 = \pi^6+2\pi^5+\pi^4$ y luego $2\pi^8 - \pi^6 - \pi^4$ está en mi campo. Pero no creo que lo genere.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $a=\pi^3+\pi^2$ y $b=\pi^8+\pi^5$ . Entonces

$$ \pi=\frac{3b(1-a)+(a^4+3a^3)}{b(a-3)+(3a^3+3a^2)} $$

para que puedas tomar $f(\pi)=\pi$ . ¿Cómo he obtenido esta fórmula? Intenté encontrar el polinomio mínimo polinomio de $\pi$ en ${\mathbb Q}(a,b)$ aplicando el algoritmo euclidiano al algoritmo $X^3+X^2-a$ y $X^8+X^5-b$ .

El último término no nulo producido por este algoritmo es $3b(1-a)+(a^4+3a^3)-X(b(a-3)+(3a^3+3a^2))$ .

Answer 2

Dejemos que $\alpha = \pi^3+\pi^2$ y $\beta = \pi^8+\pi^5$ . Se puede demostrar que si $f = \frac{p}{q}$ donde $\gcd(p,q)=1$ tenemos $$[\mathbb{Q}(\pi):\mathbb{Q}(f(\pi))] = \max\{\deg(p), \deg(q)\}.$$ Por lo tanto, $[\mathbb{Q}(\pi):\mathbb{Q}(\pi^3+\pi^2)]=3$ y si $\pi \notin \mathbb{Q(\alpha, \beta)}$ Debemos tener $\mathbb{Q(\pi)}:\mathbb{Q(\alpha, \beta)}=3$ ya que $$[\mathbb{Q}(\pi):\mathbb{Q}(\alpha)] = [\mathbb{Q}(\pi):\mathbb{Q}(\alpha, \beta)][\mathbb{Q}(\alpha, \beta):\mathbb{Q}(\alpha)].$$

Esto significa que $\beta \in \mathbb{Q}(\alpha)$ o $\pi^8+\pi^5 = \frac{g}{h}$ donde $g,h \in \mathbb{Q}[\alpha]$ y son relativamente primos. Así que $\pi^5|g$ lo cual es imposible, porque si $\pi^k |g$ , $k$ debe ser uniforme. Así que $\pi \in \mathbb{Q}(\alpha, \beta)$ .