La integral es: $$ \int \frac{3-\cos(x)}{(1+2\cos(x))\sin^2(x)}dx$$ Esta es la forma en que me acerqué a él: $$ \tan\left(\frac{x}{2}\right)=u\\dx=\frac{2}{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}du$$ Mediante el uso de identidades trigonométricas se obtiene: $$ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \s^2\left(\frac{x}{2}\right)=1+u^2 $$ Por lo tanto, la integral se convierte ahora en: $$ 2\int \frac{3-\frac{1-u^2}{1+u^2}}{\left(1+2\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\right)\left(\frac{2u}{1+u^2}\right)^2(1+u^2)}du=$$ $$\int\frac{(1+2u^2)(1+u^2)}{u^2(3-u^2)}du$$ By dividing the two polynomials we get: $$\int\left(-2-\frac{9u^2+1}{u^2(3-u^2)}\right)du$$ Using partial fractions we get to the simplified form: $$\int\left(-2-\frac{1}{3u^2}+\frac{28}{3(3-u^2)}\right)du$$ $$-2u-\frac{1}{3u}+\frac{28\sqrt3}{9}\int\frac{1}{1-\left(\frac{u}{\sqrt3}\right)^2}du \\ -2u-\frac{1}{3u}+\frac{28\sqrt3\tanh^{-1}{\left(\frac{u}{\sqrt3}\right)}}{9}+C$$ Mediante la sustitución de vuelta en $u$, obtenemos la solución: $$ \bbox[5px,border:2px solid black]{\frac{28\sqrt3\tanh^{-1}{\left(\frac{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt3}\right)}}{9}-2\tan\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{3}\cot\left(\frac{x}{2}\right)+C}$$ Mi pregunta es, como se puede entender desde el título, ¿hay alguna forma más fácil y rápida para resolver esta integral? Si es así, ¿cómo? Gracias.
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SUGERENCIA
Uno puede mirar para los coeficientes de identidad $$f(y)=\frac{3-y}{(1+2y)(1-y^2)}=\frac A{1+2y}+\frac B{1-y}+\frac C{1+y}:$$ $$A=\lim_{y\to -\dfrac12}(1+2y)f(y) =\frac{14}3,$$ $$B=\lim_{y\to 1}(1-y)f(y) = \frac13,$$ $$C=\lim_{y\to-1}(1+y)f(y) = -2$$ y, a continuación, encontrar la integral a través de el universal trigonométricas sustitución.
Se puede simplificar el cálculo mediante el uso de una identidad trigonométrica y parcial de las fracciones antes de hacer la sustitución de Weierstrass: desde $\sin^2{x}=1-\cos^2{x}$, la primera fracción se simplifica a $$ \frac{3-\cos{x}}{(1+2\cos{x})(1+\cos{x})(1-\cos{x})} = \frac{14/3}{1+2\cos{x}} + \frac{-2}{1+\cos{x}} + \frac{-1/3}{1-\cos{x}}. $$ La media de la fracción de que se simplifica a un múltiplo de $\frac{1}{2}\sec^2{\left(\frac{1}{2}x\right)}$, que se integra fácilmente a $-\tan{\frac{1}{2}x}$, y de manera similar a la última fracción es un múltiplo de a $\frac{1}{2}\csc^2{\left(\frac{1}{2}x\right)}$, el cual se integra a $-\cot{\frac{1}{2}x}$; la otra fracción realmente necesita la sustitución de Weierstrass, pero al menos el álgebra es ahora mucho más simple!
