Sistemas de ecuaciones lineales: ¿Por qué nadie vuelve a enchufar?

Question

Cuando alguien quiere resolver un sistema de ecuaciones lineales como

$$\begin{cases} 2x+y=0 \\ 3x+y=4 \end{cases}\,,$$

podrían utilizar esta lógica:

$$\begin{align} \begin{cases} 2x+y=0 \\ 3x+y=4 \end{cases} \iff &\begin{cases} -2x-y=0 \\ 3x+y=4 \end{cases} \\ \color{maroon}{\implies} &\begin{cases} -2x-y=0\\ x=4 \end{cases} \iff \begin{cases} -2(4)-y=0\\ x=4 \end{cases} \iff \begin{cases} y=-8\\ x=4 \end{cases} \,.\end{align}$$

Entonces concluyen que $(x, y) = (4, -8)$ es una solución del sistema. Esto resulta ser correcto, pero la lógica me parece errónea. Tal y como yo lo veo, todo esto demuestra que $$ \forall{x,y\in\mathbb{R}}\quad \bigg( \begin{cases} 2x+y=0 \\ 3x+y=4 \end{cases} \color{maroon}{\implies} \begin{cases} y=-8\\ x=4 \end{cases} \bigg)\,. $$

Pero esta afirmación deja abierta la posibilidad de que no exista un par $(x, y)$ en $\mathbb{R}^2$ que satisfaga el sistema de ecuaciones.

$$ \text{What if}\; \begin{cases} 2x+y=0 \\ 3x+y=4 \end{cases} \;\text{has no solution?} $$

Me parece que para estar realmente seguros de que hemos resuelto la ecuación, debemos tienen volver a conectar para $x$ y $y$ . No me refiero a revisar nuestro trabajo en busca de simples errores. Esto parece una cuestión de necesidad lógica. Pero, por supuesto, la mayoría de la gente no se molesta en volver a conectarse, y parece que nunca les sale el tiro por la culata. Entonces, ¿por qué nadie lo hace?

P.D. Sería estupendo poder entender esto para sistemas de dos variables, pero me emocionaría profundamente entenderlo para sistemas de $n$ variables. Estoy empezando a utilizar la eliminación gaussiana en sistemas grandes en mi clase de álgebra lineal, donde la intuición es más débil y los cálculos más complejos, y aún así nadie siente la necesidad de volver a conectar.

Answer 1

Has escrito este paso como una implicación:

$$\begin{cases} -2x-y=0 \\ 3x+y=4 \end{cases} \implies \begin{cases} -2x-y=0\\ x=4 \end{cases}$$

Pero de hecho es una equivalencia:

$$\begin{cases} -2x-y=0 \\ 3x+y=4 \end{cases} \iff \begin{cases} -2x-y=0\\ x=4 \end{cases}$$

Entonces tienes equivalencias de extremo a extremo y, mientras todos los pasos sean equivalencias, tienes probado que las ecuaciones iniciales son equivalentes a las soluciones finales, por lo que no es necesario " tapón trasero " y verifíquelo. Por supuesto, es necesario tener cuidado para garantizar que cada paso es de hecho reversible.

Answer 2

La clave es que al resolver este sistema de ecuaciones (o con la reducción de filas en general), cada paso es reversible . Siguiendo los pasos hacia adelante, vemos que si $x$ y $y$ satisfacen las ecuaciones, entonces $x = 4$ y $y = -8$ . Es decir, concluimos que $(4,-8)$ es la única solución posible, suponiendo que exista una solución. Por el contrario podemos seguir las flechas en la otra dirección para encontrar que si $x = 4$ y $y = -8$ entonces se cumplen las ecuaciones.

Tómese un segundo para confirmar que esos $\iff$ no son realmente $\implies$ 's.

Compárelo con una situación en la que los pasos no son reversibles. Por ejemplo: $$ \sqrt{x^2 - 3} = -1 \implies x^2 -3 = 1 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2 $$ Observarás que "elevar al cuadrado ambos lados" no es reversible, por lo que no podemos deducir automáticamente que $\pm 2$ resolver la ecuación original (y, de hecho, no hay solución).

Answer 3

Las operaciones elementales de fila hacen conservar el conjunto de soluciones, para matrices elementales son invertibles.

Comenzamos con las ecuaciones $2x+y=0$ y $3x+y=4$ que definen las dos líneas representadas a continuación

Restar $2x+y=0$ de $3x+y=4$ obtenemos $x=4$ que define una línea paralela a la $y$ -eje

Restar $x = 4$ dos veces a partir de la ecuación $2x+y=0$ obtenemos $y=-8$ que sí define una línea paralela a la $x$ -eje

Tenga en cuenta que todos los $4$ de estas líneas pasan por el punto $(4,-8)$ .

Answer 4

dxiv ya ha respondido a su pregunta para su ejemplo concreto. Pero si quieres conocer el caso general, al hacer la eliminación gaussiana tienes tres tipos de pasos básicos:

1. Reorganizar ecuaciones : Claramente reversible.

2. Multiplicar (ambos lados de) una ecuación por una constante distinta de cero : Claramente reversible por "no nulo".

3. Suma cualquier múltiplo de una ecuación a otra : Reflexionando un poco, también es reversible, ya que la operación puede deshacerse fácilmente restando ese mismo múltiplo de la primera ecuación de la segunda.

Esto basta para demostrar que cada paso es reversible y, por tanto, que el sistema de ecuaciones tiene exactamente el mismo conjunto de soluciones después de cualquier secuencia de pasos básicos. De hecho, esta es la razón por la que se puede "leer" la solución de la RREF de la matriz aumentada original que representa el sistema de ecuaciones, porque cada paso básico corresponde a la multiplicación a la izquierda de la matriz aumentada por una matriz elemental (que es invertible).

Answer 5

Todos los libros de texto de primaria/universidad que he visto recomiendan comprobar las soluciones al final mediante sustitución. Sin embargo, no es estrictamente necesario porque (como señalan otras respuestas) todos los pasos implicados son equivalencias lógicas.

Debes ser consciente de cómo es el álgebra, para un sistema de dos ecuaciones en dos variables, cuando estás no en la situación de tener exactamente una solución del sistema (es decir, un sistema independiente). En estos casos, cuando sumas las ecuaciones (tu segundo paso), se eliminarán ambas variables . En el caso de un sistema dependiente (infinitas soluciones), obtendrá una identidad, por ejemplo, 0 = 0. En el caso de un sistema inconsistente (sin soluciones), obtendrá una contradicción, por ejemplo, 0 = 1.

Algunos ejemplos OpenStax Álgebra Universitaria Sección 7.1 .