En la high school secundaria de matemáticas de las funciones de siempre a mi me parecía como glorificado ecuaciones. La única vez que vi una diferencia significativa fue cuando vimos la ecuación de un círculo y me di cuenta de que una ecuación puede describir un círculo, sino una función, no una función puede describir sólo la mitad de la circunferencia).
Entonces, ¿cuál es la diferencia entre una función y una ecuación que conduce a esta, en términos formales?
Así, un círculo puede ser descrito por una función, no sólo en el sentido de que usted puede estar familiarizado con. Si usted está buscando en una función que describe un conjunto de puntos en el espacio Cartesiano mediante la asignación de cada $x$-coordinar a un $y$coordenada, entonces, un círculo no puede ser descrita por una función porque no se logra lo que se conoce en la Escuela secundaria como la línea vertical de la prueba.
Una función que, por definición, tiene una única salida para cada entrada. Sin embargo, para casi todos los puntos de un círculo, es otro de los puntos con el mismo valor de $x$coordenada. Así, necesitaría su función de dar dos diferentes $y$coordenadas de ciertos insumos, lo cual no está permitido.
Sin embargo, no hay ninguna regla que la de entrada de una función tiene que ser un valor de $x$-coordinar o que la salida tiene que ser un $y$de coordenadas, por lo que podemos definir otras funciones que describle un círculo. En términos más prácticos, el dominio y el codominio de una función no tiene que ser de $\Bbb{R}$. Por ejemplo, podemos tener una función que genere un par ordenado (es decir, codominio de $\Bbb{R}\times\Bbb{R}$). Entonces, $$f(t)=(\sen t,\cos t)$$ salidas de la unidad de círculo cuando $0\le t<2\pi$. También podríamos describir los puntos en el espacio de una manera diferente, usando coordenadas polares. Aquí usamos el sentido antihorario ángulo desde el positivo de $x$ejes, $\theta$, y la distancia desde el origen, $r$, para identificar un punto. El uso de este sistema, se puede fácilmente describir el círculo unitario $(\theta,f(\theta))$, donde $f(\theta)=1$ y $0\le\theta<2\pi$.
Usted dice que "las funciones de aspecto glorificado ecuaciones". Definitivamente hay algo de verdad en eso. Aquí está una ecuación:
$$ $ y = x^2$$
He aquí otra ecuación:
$$f(x) = x^2$$
Ambos son ecuaciones, y las dos ecuaciones hacer cosas muy parecidas. Las dos ecuaciones que definen las funciones. Pero lo hacen de manera un poco diferente.
La primera ecuación no da un nombre a la función que se define; sólo se define $y$ como "una función de" $x$, es decir, que le dice lo que $y$ es una vez que usted sabe lo que $x$ es. La segunda ecuación no dar un nombre a la función que se define; se llama a la función $f$. (La función no está en $f(x)$; la función es sólo de $f$.)
Ahora, he aquí otra ecuación:
$$x^2 + y^2 = 1$$
A diferencia de $ $ y = x^2$, esta ecuación no define a una función. ¿Por qué no? Porque no le dice lo que $y$ es una vez que usted sabe lo que $x$ es. Esta ecuación define una relación, es decir, que le dice lo que los valores de $x$ y $y$ se permite, pero el valor de $$ y no está totalmente determinada por el valor de $x$.
Una función, resulta que es sólo un tipo especial de relación. Una función es una relación que tiene la propiedad de que una vez que usted sepa lo que el primer valor es, usted sabe lo que el segundo valor es. Un círculo puede ser descrita por una relación (que es lo que acabo de hacer: $x^2 + y^2 = 1$ es una ecuación que describe una relación que a su vez describe un círculo), pero esta relación no es una función, porque el $y$ valor no está totalmente determinada por el valor de $x$ de valor.
Ahora, podríamos usar algo similar a la notación de la función con el fin de definir un círculo? Seguro. Lo que no puede hacer es algo como esto:
$$x^2 + f(x)^2 = 1$$
Ya que estamos usando la notación de la función aquí, parece que todavía estamos tratando de definir una función. Pero lo que podemos hacer es dar nuestra relación un nombre. Digamos que es $\diamond$. Ahora podemos decir esto:
$$x \diamante y \text{ siempre } x^2 + y^2 = 1$$
Ahora, tanto como $f$ es el nombre de una función de la definición de una parábola por encima, $\diamond$ es el nombre de una relación con la definición de un círculo.
Esta es una especie de un artefacto de la forma en que las funciones del sorteo. Ponemos (entrada, salida) pares en el avión a través del proceso arbitrario
Usted puede ver que este proceso nunca puede dibujar un círculo, porque en el paso 3, tenemos que ir hacia arriba o hacia abajo dependiendo de si la opción [salida] es positivo o negativo. Pero para un círculo tendríamos que hacer tanto!
Imagine que en lugar de eso hicimos este lugar:
Luego de un círculo de radio $r$ podría muy fácilmente ser representada por la función $f(x) = r$. (Esto se conoce como coordenadas polares)
Por último, la forma en que generalmente se basan en ecuaciones es este:
Usted puede ver que este método no tiene la misma restricción que en el primer método, y por tanto, la imagen de un círculo.
Cuando la relación es unívoca ($x$ da $y$), puede usar una función, como $y=f(x)$.
Cuando la relación no es unívoca ($x$ da varios $y$), se necesitan varias funciones, como $y_0=f_0(x),y_1=f_1(x)$.
Esto se puede combinar en una sola ecuación, como $(y-f_0(x))(y-f_1(x))=0$.
En el caso de un círculo unitario, por ejemplo, $$y_0=\sqrt{1-x^2},\\y_1=-\sqrt{1-x^2},$$ o $$(y-\sqrt{1-x^2})(y+\sqrt{1-x^2})=0,$$ es decir, $$x^2+y^2=1.$$
De manera más general, una ecuación implícita como $F(x,y)=0$ da varios $y$ de $x$ y varios $x$ $y$.
Si usted permite que las funciones se comporte un poco (multi-funciones con valores) como raíces cuadradas por ejemplo, un círculo puede ser descrita como una función. (por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es de +3 y -3 (ya que ambos valores, cuando se eleva al cuadrado, rendimiento 9)).
E. g. la solución de x^2 + y^2 = r^2 para y:
y = square root (r^2 - x^2)
Fuera del círculo (es decir, cuando x < -r o x > r), y no está definido, pero dentro del círculo, el cuadrado de la raíz de arriba tiene dos raíces que forman la parte superior y la parte inferior del círculo.
Hmmm - no tengo suficiente rep a comentar, por lo tanto la respuesta.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
