¿Cómo transformar una distribución normal plegada en una distribución gamma?

Question

Sea la variable aleatoria $X$ tener la Normal doblada pdf

$$f(x)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$$

con $0\lt x \lt \infty$ .

¿Qué es la transformación $g(X)=Y$ y los valores de $\alpha$ y $\beta$ para que $Y \sim \Gamma(\alpha,\beta)$ ?

Estoy tratando de hacer algunos problemas adicionales en mi libro y estoy teniendo un poco de tiempo difícil incluso para empezar, por lo que cualquier consejo sería útil.

Answer 1

Al pensar en los PDF,

1. Centrarse en la forma de la función ignorando las constantes aditivas y multiplicativas.

2. Siempre, siempre, incluye el elemento diferencial.

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Por ejemplo, un PDF normal genérico es de la forma

$$f(x;\mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp\left(-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)$$

Siguiendo (1), redúzcalo a $\exp(-x^2)$ y tras (2), multiplicar por $dx$ , dando

$$f(x) = \exp(-x^2)dx.$$

Consideremos ahora la Gamma PDF genérica

$$g(y; \alpha, \beta) = \frac{1}{\beta\,\Gamma(\alpha)} \left(\frac{y}{\beta}\right)^{\alpha-1}\exp(-y/\beta).$$

Siguiendo las mismas dos reglas para centrarse en la parte esencial del PDF se obtiene

$$g(y) = y^{\alpha-1}\exp(-y)dy.$$

Obsérvese que la constante $\alpha-1$ se quedó porque no se suma ni multiplica la variable $y$ mismo: es un poder. Vamos a tener que averiguar cuáles son los posibles valores de $\alpha$ podría ser.

Compara $f$ a $g$ y preguntar,

¿Qué debería $y = y(x)$ para que los dos PDF se parezcan más?

Lo único que es obviamente común a las dos formas es el exponencial. Ignorando todo lo demás, compara las dos partes exponenciales de $f$ y $g$ :

$$\exp(-x^2)\text{ versus }\exp(-y).$$

Para convertir uno en otro, nuestro sólo la elección es

$$y = x^2.$$

Aquí es donde entra (2): cuando se sustituye $x^2$ para $y$ en $g$ , asegúrese de incluir el elemento diferencial. Hagamos primero ese paso:

$$dy = d(x^2) = 2 x dx.$$

El último paso diferencia $x^2$ (que es todo lo que " $d$ " nos pide que hagamos). Por lo tanto,

$$g(y)\vert_{y \to x^2} = (x^2)^{\alpha-1} \exp(-x^2) (2 x dx) = 2 x^{2\alpha-1}\exp(-x^2) dx.$$

Una vez más, deja las constantes multiplicativas o aditivas y compara:

$$x^{2\alpha-1}\exp(-x^2) dx = g(y) \text{ versus } f(x) = \exp(-x^2)dx.$$

Hemos logrado lo que nos proponíamos: $\exp(-x^2)$ es común a ambas expresiones. Aunque siguen pareciendo diferentes en la medida en que el lado izquierdo sigue teniendo un factor extra de $x^{2\alpha-1}$ En realidad, serán los mismos siempre y cuando

$$x^{2\alpha-1} = \text{ constant }.$$

Esto determina de forma única $\alpha=1/2$ . Aunque todos estos cálculos se realizaron para transformar una distribución Normal en una distribución Gamma, en la revisión se puede ver que funcionan para la Normal doblada, que tiene exactamente la misma forma que el PDF normal . Ahora ya sabe qué distribución Gamma debe utilizar. El resto es cuestión de calcular el valor de $\beta$ que dejo al lector interesado.

Answer 2

Aunque el método descrito por whuber es muy general, en este caso, hay un método mucho más fácil para obtener la respuesta: de hecho, un método que podría ser descrito como más desde la perspectiva de un estadístico que de un probabilista.

Siguiendo mi pista en la pregunta principal, considere una variable aleatoria normal estándar $Z$ cuyo cuadrado $Z^2$ tiene un $\chi^2(1)$ que también es una distribución Gamma con (forma y escala) $\left(\frac 12, 2\right)$ . Ahora, la variable aleatoria normal plegada dada normal plegada $X$ tiene la misma distribución que $|Z|$ y por lo tanto $Y = X^2$ tiene la misma distribución que $|Z|^2 = Z^2 \sim \chi^2(1)$ . Así, la función $g(x)$ que se busca es sólo $g(x) = x^2$ y la densidad Gamma resultante tiene parámetros de forma y escala $\left(\frac 12, 2\right)$ . De manera más general, $cX^2$ tiene una densidad Gamma con parámetros de forma y escala $\left(\frac 12, 2c\right)$ .