Base para el núcleo y la imagen de la siguiente T

Question

Estoy trabajando en este problema de práctica y me preguntaba si podría recibir ayuda.

Tengo un $T$ : $\mathbb{R^{2x2}}\to \mathbf{P_{2}}$ , es decir, de matrices de 2x2 a polinomios de grado a lo sumo 2. La transformación viene dada como sigue: $$T\left(\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\right) = a-c+2d+(b+2c-d)t+(a-c+3d)t^{2}.$$

Para obtener la base del núcleo de $T$ He resuelto un sistema de ecuaciones necesario para obtener el elemento 'O' en el $\mathbf{P_{2}}$ -- $a-c+2d=0$ , $b+2c-d=0$ y $a-c+3d=0$ . Como resultado, obtuve la base del núcleo igual a $$\begin{bmatrix} 1 & -2\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}.$$

Cuando se trata de la imagen, si entiendo bien, tengo que factorizar todas las variables por separado, para ver qué es lo que abarcan. Así que tengo $a(1+t^{2})+b(t)+c(-t^{2}+2t-1)+d(3t^{2}-t+2)$ . Entonces, ¿tendré razón al decir que estos tres polinomios (sin los coeficientes $a$ , $b$ , $c$ y $d$ ) forman la base de la imagen $T$ ? Gracias.

Answer 1

Tus respuestas son correctas, pero para la parte de la imagen a) necesitas un razonamiento adicional y b) puedes simplificar considerablemente el resultado. a) Estos polinomios forman un conjunto generador para la imagen de $T$ para demostrar que forman una base, tienes que comprobar si son linealmente independientes (lo son). b) Has descrito correctamente el espacio de la imagen, pero de forma bastante complicada. ¿Cuál es la dimensión del espacio que abarca tu base de tres polinomios? ¿Y cuál es la dimensión de todo el codominio $\mathbf{P_2}$ ? ¿Qué le dice eso sobre el espacio que abarcan realmente estos elementos?

Por cierto, el elemento base del núcleo debe escribirse como $2\times2$ matriz, no como un vector columna, y la base es el conjunto que contiene ese elemento, no el elemento mismo.

Answer 2

La forma más sencilla de calcular la imagen, de forma abstracta, es tomar una base del dominio, y ver lo que abarca su imagen. Así que aquí, se podría tomar la base estándar de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ A saber, $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right).$$ Aquí, tienes que las imágenes de estos vectores base son, respectivamente, $$1+t^2,\quad t,\quad, -1+2t-t^2,\quad 2-t+3t^2.$$ Por lo que se querría averiguar el tramo de estos cuatro polinomios en $\mathbb{P}^2$ (nótese que, por supuesto, estos cuatro polinomios deben ser linealmente dependientes; después de todo, $\dim(\mathbf{P}_2) = 3$ ).

Como alternativa, se puede pensar en la representación matricial de $T$ . Convénzase de que la imagen de $T$ corresponde al espacio de columnas de la matriz que representa $T$ . Una manera de encontrar el espacio de columnas es encontrar una forma de fila-echelón de la matriz, y luego tomar las columnas en la matriz original que corresponden a las columnas que contienen los pivotes de la forma fila-echelón. Como es posible que ya hayas calculado la forma fila-echelón de la matriz para encontrar una base para el espacio nulo, es probable que ya hayas hecho todo el trabajo necesario y puedas simplemente explotarlo.

Por supuesto, como se ha señalado en los comentarios, si ya se sabe que la dimensión de la imagen es $3$ (por el Teorema de la Dimensión, también conocido como Teorema de Rango-Nulidad, digamos), y sabes que $\mathbf{P}_2$ tiene dimensión $3$ entonces sabes que la imagen es toda de $\mathbf{P}_2$ lo hará. Las descripciones anteriores son los procedimientos generales que se pueden utilizar con cualquier transformación lineal.