Problema de la raíz cuadrada recursiva

Question

Dar un significado preciso a evaluar lo siguiente: $$\large{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dotsb}}}}}$$

Como creo que tiene una estructura recursiva (¿es así?), reduzco la ecuación a

$$ p=\sqrt{1+p} $$ $$ p^2=1+p $$ $$ p^2-p-1=0 $$ $$ p=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} $$

¿Lo he hecho bien?

Answer 1

El problema nos pide que asignemos un significado preciso a la expresión.

Dejemos que $a_0=1$ y para cada $n\ge 0$ , dejemos que $$a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}.$$ La precisión significa de la expresión es $$\rho=\lim_{n\to\infty}a_n.$$

Observación: El límite existe, y una versión de su argumento muestra que el límite es efectivamente $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Este es otro ejemplo de un problema similar. Asigne un significado preciso a $$\rho=1+2+4+8+\cdots.$$

Podríamos (?) decir $\rho=1+2\rho$ y por lo tanto (??) $\rho=-1$ . Es bastante improbable (aunque no imposible) que realmente queramos decir que $1+2+4+\cdots$ significa $-1$ .

Answer 2

Dar un significado preciso a" es bastante amplio. Un enfoque general sería establecer $$\rho_0 = 1; \qquad \rho_{n+1} = \sqrt{1+ \rho_n}$$ Entonces, para demostrar que $(\rho_n)_n$ es convergente (es decir, cauchy en $\mathbb R$ ) y definir $\rho$ como límite, utilizando la completitud de $\mathbb R$ . $$\rho = \lim_{n\to\infty} \rho_n$$ Entonces puede demostrar que $$\rho = \frac{1+\sqrt5}2$$

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Tenga en cuenta que $\rho\neq\frac{1-\sqrt5}2$ simplemente mostrando que cada $\rho_n \ge 1>\frac12 >\frac{1-\sqrt5}2$ Además, la elección de $\rho_0$ es arbitraria siempre que $\rho_0 \ge -1$ . Sólo afectará a la tasa de convergencia. Cuanto más cerca $\rho_0$ es $\frac{1+\sqrt5}2$ más rápido convergerá la secuencia.