¿$a_1^k+a_2^k+\ldots+a_n^k$ entero implica todos enteros?

Question

Que $n$ ser un entero positivo, y que $a_1,\ldots,a_n$ ser números racionales. Supongamos que $a_1^k+a_2^k+\ldots+a_n^k$ es un entero para todos los enteros positivos $k$. ¿Es cierto que $a_1,a_2,\ldots,a_n$ debe ser números enteros?

De las condiciones, podemos decir algo acerca de los polinomios simétricos elementales. Por ejemplo, $\sum_{i<j}a_ia_j=\dfrac12\left(\left(\sum a_i\right)^2-\sum a_i^2\right)$ es la mitad de una entero. Es todavía difícil suponer que nada acerca del $a_i$'s ellos mismos.

Answer 1

Creo que se puede demostrar más. Supongamos que $n\geq 1$, $v_k=b_1a_1^k+\cdots+b_n a_n^k\in \mathbb{Z}$ todos los $k$, $b_j$ cero los números racionales e $a_j$ distincts los números racionales. A continuación, todos los $a_k$ son enteros. Algunos consejos:

1) Para demostrar el caso $n=1$, escribir $a_1=u_1/v_1$ , $u_1$ $v_1$ con ningún primer commun factores. Si $p$ es un número primo tal que $p$ brecha $v_1$, luego de un gran $k$, se obtiene una contradicción. Por lo tanto $v_1$ no tiene primos divisores, y $v_1=1$.

2) el Uso de la inducción en $n$. Si el resultado es cierto para $n-1$,$n\geq 2$, arreglar un $j$, $1\leq j\leq n+1$, tome $d_j$ tal que $d_ja_j\in \mathbb{Z}$, y el uso de la inducción de la hipótesis de $w_k=d_j(v_{k+1}-a_jv_k)$ (el término en $a_j^k$ desaparece).

Answer 2

Que $p$ ser un primer y considerar el sistema en $p$-racionales adic $\mathbb Q_p$.
Wlog. ninguno de lo $a_i$ es cero, entonces $a_i=p^{e_i}b_i$ $e_i\in\mathbb Z$ y $b_i\in\mathbb Z_p^\times$. $b_i^{p-1}\in 1+p\mathbb Z_p$ Y $b_i^{(p-1)p^r}\to 1$ $r\to\infty$. Que $e=\min \{\,e_i\mid 1\le i\le n\}$ y $m=|\{\,i\mid e_i=e\,\}|$. Entonces $k=(p-1)p^r$ $r$ bastante grande (es decir, tal que $k>m$) tenemos $a_1^k+\ldots +a_n^k\approx mp^{ke}$. Se trata de un sólo si entero $e\ge0$. Concluimos que ninguno de lo original $a_i$ tiene «$p$ en el denominador». $p$ Fue un primer arbitraria, todas las $a_i$ son números enteros.