Dada una variedad compacta y lisa $M$ es relativamente conocido que $C^\infty(M)$ determina $M$ hasta el difeomorfismo. Es decir, si $M$ y $N$ son dos variedades lisas y existe una $\mathbb{R}$ -isomorfismo de álgebra entre $C^\infty(M)$ y $C^\infty(N)$ entonces $M$ y $N$ son difeomorfos.
(Véase, por ejemplo, el libro "Characteristic Classes" de Milnor y Stasheff, en el que un ejercicio permite demostrar este hecho).
Así, en cierto sentido, toda la información sobre el colector está contenida en $C^\infty(M)$ .
Además, las herramientas de la lógica/teoría de conjuntos/teoría de modelos, etc., se han aplicado claramente con mayor éxito a las estructuras puramente algebraicas que, por ejemplo, a la geometría diferencial o riemanniana. Esto se debe en parte al hecho de que muchas estructuras algebraicas interesantes pueden definirse mediante fórmulas de primer orden, mientras que en el entorno geométrico se suelen utilizar (¿necesitan?) fórmulas de segundo orden.
Así que mi pregunta es doble:
En primer lugar, ¿existe una caracterización conocida de cuándo un determinado (conmutativo, unital) $\mathbb{R}$ -es isomorfa a $C^\infty(M)$ para alguna variedad compacta y suave $M$ ? Imagino que la respuesta es o bien conocida, o bien muy difícil, o ambas cosas.
En segundo lugar, ¿ha aplicado alguien la maquinaria de la lógica/etc. para, digamos, demostrar un resultado de independencia en geometría diferencial o riemanniana? ¿Cuáles son las referencias?
