Una botella de píldoras con grandes y pequeñas píldoras

Question

Bien aquí está la pregunta exacta:

Una botella contiene inicialmente $48$ grandes pastillas y $76$ en pequeñas píldoras. Cada día un paciente elige aleatoriamente una de las pastillas. Si una pequeña píldora es elegido, es comido. Si una gran píldora es elegido, la píldora se rompe en dos; una parte que se come y la otra parte es devuelta a la botella, y ahora es considerada una pequeña píldora. Deje $X$ el número de pequeñas píldoras en la botella después de la última gran píldora ha sido elegido y su mitad más pequeña es devuelto. Encontrar $\operatorname{E}(X)$.

Ahora, aquí está mi proceso de pensamiento hasta el momento:

$X_i$ = el momento en el que el $i$th gran píldora es elegido y, a continuación, roto. Entonces $X = \sum_{i = 1}^{48}X_i$, lo $\operatorname{E}(X) = \sum_{i = 1}^{48}\operatorname{E}(X_i)$. De esto deduzco que el $X\sim \operatorname{Geo}(\frac{48-i+1}{76+i-1})$, pero no tengo idea de cómo se podría ir sobre la informática una cantidad ridícula de geométrico de las variables aleatorias.

Answer 1

El proceso no está bien definida ya que no especifica una distribución. Es lógico que un paciente al azar la elección de una píldora de una botella es más probable que elija uno grande que uno pequeño. Para esta respuesta, voy a asumir que implica que las pastillas son elegidos de forma independiente y con una distribución uniforme.

Vamos a no ser $k$ grandes y $n$ en pequeñas píldoras. Una pequeña píldora sobrevive hasta el final si es elegido después de todos los grandes píldoras. Para el $n$ original pequeñas píldoras, no se $k$ grandes píldoras que necesitan para sobrevivir, y la probabilidad de que esto es $\frac1{k+1}$ por la simetría. Por la linealidad de la expectativa, esto produce una contribución $\frac n{k+1}$ para el número esperado de sobrevivientes pequeñas píldoras.

Entonces nosotros también tenemos que tomar en cuenta las pequeñas píldoras que se producen durante el proceso. La pequeña píldora que se produce cuando el $j$-th en el último gran píldora se rompe necesita para sobrevivir $j-1$ grandes pastillas, con una probabilidad de $\frac1j$, para una contribución de

$$ \sum_{j=1}^k\frac1j=H_k\;, $$

donde $H_k$ $k$- ésimo número armónico. En total, se espera que el número de pequeñas píldoras de es

$$ \frac n{k+1}+H_k\;, $$

que, en su caso, con $k=48$ $n=76$ es

$$ \frac{76}{49}+H_{48}=\frac{18624692152821783046631}{3099044504245996706400}\approx6.01\;. $$ Su enfoque es erróneo en dos aspectos; $X$ es el número de supervivientes pequeñas píldoras, no de una época; y la suma de momentos en los que los grandes píldoras son elegidos no tiene importancia. Si quería seguir este enfoque, se necesita la suma de los tiempos que se necesita para elegir al próximo gran píldora después de que el anterior gran píldora. Este es el enfoque adoptado en el cupón de coleccionista problema, pero dudo que sea fructífera en este caso.