¿La serie $\sum\frac{(n!)^2\cdot4^n}{(2n)!}$ divergen o convergen?

Question

¿La serie $\sum \frac{(n!)^2\cdot4^n}{(2n)!}$ convergen o divergen?

Answer 1

$\dfrac{(n!)^24^n}{(2n)!}=\dfrac{2^n\prod_{r=1}^n(2r)}{2^n\prod_{r=1}^n(2r-1)}=\dfrac{\prod_{r=1}^n(2r)}{\prod_{r=1}^n(2r-1)}$

Ahora $\dfrac{2r}{2r-1}>1$ $2r-1>0$

Answer 2

Un poco inútil a la luz de Steven respuesta, pero, sin embargo, útiles para el futuro de las ideas. Recordemos que el catalán números son iguales a $\frac{1}{n+1}\binom {2n}n$ y contar el número de secuencias de longitud $2n$ de ceros y unos para que el número de unos es siempre al menos la de ceros en cualquier truncamiento de la secuencia. Desde allí se $4^n$ secuencias binarias de longitud $2n$ se sigue que $$\frac{1}{n+1}\leqslant 4^n \binom{2n}n^{-1}$$ so the series diverges by comparison to the harmonic series. In fact $$\frac{1}{4^n}\binom{2n}n \simeq \frac{1}{\sqrt{n\pi }}$$

Answer 3

Recordemos la Fórmula de Stirling

$$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+O\left(\frac1n\right)\right)$$

Entonces, tenemos

$$\begin{align} \frac{(n!)^2\,4^n}{(2n)!}&=\frac{(2\pi n)\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}4^n}{\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}\left(1+O\left(\frac1n\right)\right)\\\\ &=\sqrt{\pi n}+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\\\\ &\to \infty\,\,\text{as}\,\,n\to \infty \end{align}$$