Convergente $x_n,y_n$ $x_n^{y_n}$ diverge

Question

Deje $x_n, y_n > 0$.

Necesito un ejemplo de secuencias convergentes $x_n,y_n$ tal que $x_n^{y_n}$ diverge. ¿Podría usted ayudarme?

Answer 1

Deje $x_n$ ser cualquier secuencia positiva convergencia de a $0$. Deje $y_n$ $1/|\ln x_n|$ si $n$ es uniforme y deje $y_n$ $2/|\ln x_n|$ si $n$ es impar. Tenga en cuenta que $y_n$ converge a $0$. A continuación, $x_n^{y_n}=e^{y_n\cdot \ln x_n}$ $e^{-1}$ o $e^{-2}$, alternando con $n$, por lo tanto no convergentes.

Answer 2

$$x_n=\frac{1}{n!}\\y_n=\frac{(-1)^n}{n}\\x_n^{y_n}=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{n!}^{\frac{-1}{n}}& \space\space n=2k+1\\ \frac{1}{n!}^{\frac{+1}{n}}& \space\space n=2k \end{de la matriz}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} \sqrt[n]{n!} \rightarrow \frac{1}{e} & \space\space n=2k+1\\ \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} \rightarrow e & \space\space n=2k \end{de la matriz}\right. $$

Answer 3

Se puede mostrar fácilmente que $x_n^{y_n}$ converge a$l_x^{l_y}$, $l_x$ el límite de $x_n$ $l_y$ el límite de $y_n$...

Sólo mediante el derecho $\epsilon_{x,y}$ $N_{x,y}$ en la definición de convergencia.