Esta es una pregunta del resumen gratuito de álgebra en línea de Harvard conferencias . Estoy publicando mis soluciones aquí para obtener algunas opiniones al respecto. Para una explicación más completa, véase este puesto.
Este problema es de la tarea 5.
a) Demuestre que la relación $x$ conjugar con $y$ en un grupo $G$ es una relación de equivalencia en $G$ .
b) Describir los elementos $a$ cuya clase de conjugación (= clase de equivalencia) está formada por el elemento $a$ solo.
a) Que $G$ sea un grupo y $R$ sea una relación sobre $G$ definido por $a\sim b$ si $a$ es conjugado con $b$ . Entonces $a\sim b$ si hay un $g\in G$ tal que $a = gbg^{-1}$ . Sea $a$ sea un elemento de $G$ . Entonces $a=eae^{-1}$ . Así que $a\sim a$ y $R$ es reflexivo. Sea $a$ y $b$ sean elementos de $G$ tal que $a\sim b$ . Entonces hay un $g\in G$ tal que $a=gbg^{-1}$ . Entonces $b=g^{-1}ag$ . Desde $g^{-1}\in G$ , $b\sim a$ . Por lo tanto, $R$ es simétrica. Sea $a,b$ y $c$ sean elementos de $G$ tal que $a\sim b$ y $b\sim c$ . Luego hay elementos $g,g^\prime\in G$ tal que $a=gbg^{-1}$ y $b=g^\prime cg^{\prime -1}$ . Entonces $a=g(g^\prime c g^{\prime -1})g^{-1}=(gg^\prime)c(g^{\prime -1}g^{-1})=(gg^\prime)c(gg^\prime)^{-1}$ . Desde $gg^\prime\in G$ , $a\sim c$ . Por lo tanto, $R$ es transitivo. Por lo tanto, $R$ es una relación de equivalencia en $G$ .
b) Que $S$ sea el conjunto de elementos de $G$ tal que, para $s\in S$ , $s=gsg^{-1}$ para cualquier $g\in G$ . Entonces $sg=gs$ . Así que $S$ es el conjunto de elementos que conmutan con cada elemento de $G$ . En otras palabras, $S$ es el centro de $G$ .
De nuevo, agradezco cualquier crítica a mi razonamiento y/o mi estilo, así como soluciones alternativas al problema.
Gracias.
