Definición de "interior de derivados" y "exterior derivado"?

Question

En Willie Wong es la respuesta a una pregunta, se utilizan algunos conceptos: "interior derivado" de una forma diferenciada y "exterior derivado" de una función escalar en $\mathbb{R}^3$.

Para el "exterior derivado" de una función escalar en $\mathbb{R}^3$, creo que significa el exterior derivada de la función escalar visto como una 0-forma.

Para el "interior de derivados", no soy capaz de encontrar la definición de otros lugares. He aquí su texto original:

Deje $\omega$ ser una forma de volumen en algunos colector $M$. (Así que si $M$ ha $n$-dimensiones, $\omega$ es diferenciable $n$-forma). A través del volumen forma podemos definir la noción de volumen, y la noción de integral en la forma habitual. (Supongo que usted está familiarizado con la de ya.) Entonces el interior derivado $\iota_v\omega$, que es el $n-1$-forma definido por

$$ \iota_v\omega(X_2,\ldots,X_n) = \omega(v,X_2,\ldots,X_n) $$

para $v$ un campo de vectores en $M$, es diferenciable formulario de la parte superior grado cuando están restringidas a $n-1$-dimensiones submanifold.

Debe un interior derivado de una forma diferenciada se especifican en relación a un campo de vectores?

Puedo tener alguna pista y referencias aquí? Gracias de antemano!

Answer 1

1. Sí, el interior de la derivada es siempre especifican en relación a un campo de vectores. Es muy simple. De hecho, usted cita una definición completa en su pregunta.

Entonces el interior derivado $ι_vω$, que es el n−1-forma definida por la

$ι_vω(X_2,…,X_n)=ω(v,X_2,…,X_n)$

Eso es realmente todo lo que hay que hacer. Toma algunos n-forma (con n>0) y averiguar cómo actúa en algún otro conjunto de campos vectoriales, simplemente "insertar" el vector de campo que tuvo el producto en el interior con los argumentos. Buscar en la expresión anterior, es más simple de lo que las palabras pueden describir. Se muestra cómo a n-1 formulario de $ι_vω$ actúa en una serie de campos vectoriales $X_2,…,X_n$.

Nota, sin embargo, que esto no funciona en 0-formas. Usted puede ver esto de dos maneras. Primero, toma n formas de n-1 formas, y no hay tal cosa como -1 formas. En segundo lugar, si nos fijamos en cómo sus definido anteriormente, no hay ningún lugar para "insertar" en el campo de vector como argumento, porque una 0-forma se lleva a 0 argumentos. Por lo que el interior de la derivada de una 0-forma (una función) es siempre 0.

2. Como Dylan Señalado, el producto en el interior es el mismo que el interior de derivados. Ver el artículo de la Wikipedia.

3. El exterior producto no es el mismo que el exterior de derivados. El exterior del producto es sólo otro nombre para el producto exterior. El exterior de la derivada es la $d$ operador.

Hay una estrecha relación entre el exterior derivados, interior de derivados, y la mentira derivados, ver la identidad de Cartan:

$\mathcal L_X\omega = \mathrm d (\iota_X \omega) + \iota_X \mathrm d\omega$