La evaluación de un límite. Lo que hace que la igualdad de derecho?

Question

Estoy leyendo una prueba de un límite de cálculo. El límite es:
$$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^\frac{1}{x}$$ donde $a,b>0$.

El otro afirma que:
$$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^\frac{1}{x} = \exp\left( \lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{a^x+b^x}{2} - 1}{x} \right)$$

¿Cómo ven?

Actualización:
Por supuesto, $$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^\frac{1}{x} = \exp\left(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln\left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)}{x} \right)$$

Pero cómo proceder para llegar a los autores de expresión?

Answer 1

Si tratamos con $$ \lim_{x\to 0} \frac{\log(a^x+b^x)-\log 2}{x} $$ y aplicar l'Hôpital del teorema, tenemos $$ \lim_{x\to 0}\frac{a^x\log a+b^x\log b}{a^x+b^x}=\frac{\log a+\log b}{2}= \log\sqrt{ab}. $$ Es simplemente la derivada de $x\mapsto (a^x+b^x)/2$$0$, por supuesto.

Sin embargo, $$ \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1 $$ así que $$ \lim_{x\to 0} \frac{\log\dfrac{a^x+b^x}{2}}{x}= \lim_{x\to 0} \frac{\log\dfrac{a^x+b^x}{2}}{\dfrac{a^x+b^x}{2}-1} \frac{\dfrac{a^x+b^x}{2}-1}{x} $$ y el límite del primer factor es $1$. Yo no creo que sea una verdadera simplificación.

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Cabe señalar que la función $$ \mu_{a,b}(x)=\begin{cases} \left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x} & \text{if %#%#%}\\[2ex] \sqrt{ab} & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ para $x\ne0$ es bastante interesante, porque es creciente, $x=0$ es la media armónica, $a,b>0$ es la media geométrica, $\mu_{a,b}(-1)$ es la media aritmética y $$ \lim_{x\a\infty}\mu_{a,b}(x)=\min(a,b),\qquad \lim_{x\to\infty}\mu_{a,b}(x)=\max(a,b). $$

Answer 2

El primer uso simple hecho, de que $\displaystyle\lim_{y \to 0}\frac{\ln(1+y)}{y}=1$, así:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(\frac{a^x+b^x}{2}-1+1)}{y}=\lim_{x \to 0}\frac{\ln(\frac{a^x+b^x}{2}-1+1)}{\frac{a^x+b^x}{2}-1} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\frac{a^x+b^x}{2}-1}{y}=\\=1 \cdot \lim_{x \to 0}\frac{\frac{a^x+b^x}{2}-1}{x}$$

Ahora $\lim_{x \to 0}\frac{\frac{a^x+b^x}{2}-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2}\frac{a^x-1}{x}+\lim_{x \to 0}\frac{1}{2}\frac{b^x-1}{x}$

Pero $a^x=e^{x \ln a }$, lo $\lim_{x \to 0}\frac{1}{2}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x \to 0}\ln a\frac{1}{2}\frac{e^{\ln a x}-1}{x \ln a}=\frac{1}{2}\ln a$. El mismo con el segundo límite. Finalmente el resultado es $\frac{\ln ab}{2}$.