Esta $U(1)$ es sólo el indicador de simetría del electromagnetismo. Para una función de onda de una partícula cargada, el $U(1)$ actúa simplemente por cambiar la fase de la función de onda. La "sección" significa que en realidad queremos la fase en cada punto a determinar. Pero porque no la $U(1)$ simetría, la fase es en gran medida arbitraria. Sin embargo, una posición arbitraria dependiente de cambio de la fase realmente no crear un equivalente estado físico, pues las variaciones son recordados en los cambios del medidor de campo – en terminología matemática, la información se almacena en la "conexión en el haz de fibras".
En la presencia de los monopolos magnéticos, el vector potencial de $\vec A$ no pueden ser definidos a nivel global debido a $\vec B={\rm curl}\,\vec A$ automáticamente obedece ${\rm div}\,\vec B=0$ pero esta ecuación es violado en la presencia de monopolo magnético cargos debido a ${\rm div}\,\vec B=q_m\delta^{(3)}(\vec x)$. Sin embargo, todavía es posible definir $\vec A$ en casi todas partes alrededor de un punto-como el monopolo magnético, excepto para un semi-infinita cadena (línea) comienza en el origen (la ubicación de la monopolo), el llamado de Dirac de la cadena.
Esto es equivalente a sustituir el monopolio por un largo dipolo magnético de conectar el original monopolo con el polo opuesto, que es enviado a infinito. Porque el polo opuesto está en el infinito, se convierte en irrelevante. Sin embargo, el largo solenoide (imán) que conecta los dos polos debe ser invisible. Una condición necesaria para esto es que el Aharonov-Bohm efecto alrededor de este solenoide produce no detectables de cambio de fase, y esto es equivalente a la de Dirac regla de cuantización de la carga magnética, esencialmente $q_m q_e\in 2\pi{\mathbb Z}$.
En terminología matemática, de la posible transformación de la fase de la función de onda inducida por el viaje alrededor de la cadena de Dirac es la razón por la que tenemos que hablar acerca de "paquetes": es imposible establecer $\vec A$ igual a cero en todas partes así que incluso si no hay ninguna fuente magnética en cualquier lugar en el espacio (excepto por el origen), todavía no se puede asignar un natural único de la fase de la función de onda en la mayor parte del espacio.
En las unidades de la escuela primaria, el monopolo magnético de carga, $q_m$ – el monopolo número puede ser expresado como el coeficiente de $\delta^{(3)}(\vec X)$${\rm div}\,\vec B$, o – que es la misma por Gauss teorema – como la superficie integral de la $\int d\vec S\cdot \vec B$ con el derecho de la convención de dependiente del coeficiente. También, porque todos los "nontriviality" del grupo debe estar concentrado para la cadena de Dirac, el único lugar donde $\vec A$ no está bien definido, el flujo magnético puede ser reducido a la integral sobre una pequeña sección transversal de corte de la cadena de Dirac, y por lo tanto $q_m$ se expresa de monodromies alrededor de Dirac cadena que le dice lo mucho que la haz de fibras se tuerce.
Todas estas cosas son la misma. Para ver por qué son el mismo, es útil para darse cuenta de que los físicos tratan de "banalizar" el haz de fibras y casi de éxito, excepto por la Dirac cadena donde $\vec A$ no está bien definido. Sin embargo, $\vec B$ está definido por todas partes excepto por el origen. Así que cualquier cosa acerca de la nontriviality del paquete debe estar codificado en el gauge invariantes funcionales de $\vec A$, es decir, en el contorno de las integrales de $\oint d\vec \ell\cdot \vec A$ y la superficie de las integrales de $\vec B$. Por la costumbre trivial de Gauss-como teoremas, que dan el mismo número para el monopolo magnético de configuración.
Sobre la actualización de la lista de preguntas,
- la función de onda es una sección de un complejo paquete de software con estructura de grupo $U(1)$ que es el grupo gauge
- el indicador de las transformaciones especificar la transición de funciones entre los parches; los parches deben ser diffeomorphic a las pelotas, pero en realidad, podemos hacer que el parche principal tan grande como todo el espacio de menos de Dirac cadena
- el potencial electromagnético es siempre la llama de la conexión en la (medidor de simetría) de paquete por los matemáticos; la incapacidad para definir $\vec A$ a nivel mundial es la razón por la que el paquete no es trivial
- el valor de la conexión de $\vec A$ puede ser cualquier cosa que obedece a las ecuaciones de Maxwell. En 3+1D, los monopolos magnéticos son la única localizada fuentes que pueden hacer que el paquete no trivial para cada potencial general es una superposición de las bien definidas $\vec A$ e las $\vec A$ a partir de una distribución de los monopolos magnéticos.
Véase también p. ej.
puede introducir los monopolos magnéticos sin Dirac cadenas?
