Cómo hacer "pruebas" de trabajo en las matemáticas, hasta el nivel básico?

Question

Me encontré con este ejemplo básico de un problema:

Demostrar por inducción matemática que 1 + 2 + 4 + 8 + 6

¿Qué se supone que voy a probar, la suma? No acabo de conseguirlo, así que me decidí a profundizar en la enciclopedia de referencias para ayudar a:

En matemáticas, una prueba es un argumento deductivo para un enunciado matemático.

Así que una prueba es simplemente argumentando que el "problema" de la ecuación es correcta? Bajo qué medidas confines algo como un argumento de la prueba? Nadie puede discutir nada.

Terminé en axiomas:

Un axioma o postulado, es una premisa o punto de partida del razonamiento.

Así que si me "razón y/o argumentar que mi problema es la correcta" yo soy "corrección"?

Es que todo lo que significa?

Así 1 + 2 + 4 + 8 + 6 = 21. Asumiendo que usted tiene la primaria, además de conocimiento, y puede agregar sumandos juntos, donde hay un argumento y por qué?

Básicamente, ¿cuál es el punto de "prueba" en esta situación, y cómo surge la idea de "pruebas" en las matemáticas hacen que su propósito vale la pena?

Me refiero a que tener una mente abierta, pero no se puede de manera realista pensar que todo tiene un propósito para todo en todo momento. Yo no veo ninguna comprensión práctica o idea sobre las "pruebas" que me hace simplemente "es" y lo encuentran útil.

Answer 1

Una prueba de matemáticas es la misma cosa como una prueba en la vida de cada día: es un argumento que convence de que algo es verdadero. La única diferencia es que en matemáticas tenemos mucho más estrictas normas de cómo convencer a la prueba debe ser.

Ahora bien. Su confusión inicial era acerca de lo que esto significa:

Demostrar por inducción matemática que $1 + 2 + 4 + 8 + 6$.

Que la derecha se debe confundir, ya que es un completo sin sentido de la frase. MJD el comentario de debajo de tu pregunta hace un buen trabajo explicando el problema. Creo que todos agradeceríamos si pudieran publicar exactamente donde se encuentra la frase, porque sospecho que usted malinterpretados o entendido mal, o fue escrito por un idiota.

Ahora, si se te pide demostrar que $1 + 2 + 4 + 8 + 6 = 21$, que es una historia diferente (de nuevo, ver MJD comentario si usted no entiende la diferencia). Como usted dijo, usted puede comprobar que sólo haciendo básicas de suma, y ninguna persona razonable (incluso un matemático) preguntaría por cualquier otra prueba más que eso. De nuevo, sospecho que debe haber entendido mal la pregunta original (por favor enviar un enlace o referencia!).

Pregunta:

...si me "razón y/o argumentar que mi problema es la correcta" yo soy "corrección"?

Esto suena básicamente correcto, a pesar de su uso de la palabra "problema" es extraño. ¿Cómo puede un problema ser la correcta? Una afirmación puede ser correcta. Usted demostrar que un enunciado. Como he dicho en el primer párrafo, la "prueba" no tiene ningún misterioso significado técnico en matemáticas (excepto en super-avanzado, nivel de Doctorado de la lógica de clases), es sólo que los matemáticos son bastante más estrictas acerca de cómo ciertos quieren pruebas.

Ahora, yo no entiendo muy bien a qué te refieres cuando dices que "no se puede realista pensar que todo tiene un propósito para todo en todo momento", pero lo que parece estar preguntando cuál es el propósito de las pruebas es en matemáticas. Hay un par de fines:

1. La razón más sencilla es que a pesar de $1 + 2 + 4 + 8 + 6 = 21$ es evidente, hay un montón de cosas en las matemáticas que son mucho menos obvias (pero cierto). Si acabo de decirle a usted que el área de un círculo es siempre igual a su perímetro veces la mitad del radio ($A=P\times\frac{r}{2}$), no hay ninguna razón por qué usted debe creer en mí. No parece tan evidente. Pero es cierto, y usted puede probar que es verdadera.
2. Probablemente no tanto en su nivel, pero a medida que avanza a las matemáticas superiores, más y más a menudo vienen a través de las cosas que parecen verdaderas, pero en realidad son falsos. Así que empieza a confiar en su instinto mucho de menos, y demostrar las cosas con cuidado, se vuelve mucho más importante.
3. Un simple hecho como $2+2=4$ es bastante obvio y no es tan misterioso, pero en matemáticas superiores muchas cosas que te hacen preguntar ¿por qué?. ¿Por qué es esto verdad? Una prueba también actúa como una explicación de por qué algo es verdadero.

Answer 2

Parece que lo que está después, son los medios de prueba. Estos son estudiados en el subcampo de la lógica.

El argumento de la prueba de una afirmación como 2+3 = 5 reside en varios pasos, que al principio no son del todo obvio.

En primer lugar, los símbolos 2 y 3 indican los números y el símbolo + se define una operación de estos números que han matemáticas precisas definiciones y/o axiomas que describen su función.

Por ejemplo, en los axiomas de la definición de la (natural) de los números, postulamos la existencia de un "primer" elemento", y le damos un nombre o un símbolo, es decir "1" - axioma N1. A continuación, postulamos que todos los números tienen un sucesor, el sucesor de x se escribe como S(x) - axioma de N2. Nota: no estamos diciendo que lo que esta función sucesor no, pero podemos deducir la existencia de S1, S(S1), S(S(S1)), etc. Nos gustaría que fueran diferentes. Así, postulamos "Sx = Sy implica x = y" - axioma de la N3.

Ahora, podemos demostrar que si alguna de tales sucesores son iguales, entonces tenemos sólo un elemento. E. g. si S(S(1)) = S(1), entonces S(1) = 1 (usando el axioma II); por tanto, S(S(1)) = S(1) = 1. Repitiendo este argumento para cualquier sucesor de 1, completa la prueba de tal afirmación. Determinadas pruebas-técnicas nos dan la opción de probar la declaración general. (Se llama Inducción).

Podemos añadir un cuarto axioma que se evita que esta: $x \neq Sx$ - axioma IV. etc.

De estos, vemos que podemos identificar a los sucesores de 1 con los números 2, 3, etc. normal de nuestra recuento de la experiencia. Aún no hemos definido la adición. Podemos definir, además de con otros axiomas. E. g.

A1: x + 1 := Sx

A2: Si v = D, entonces x + v := S(x+u),

etc.

Desde allí, se puede demostrar que 2 + 3 = 5 por darse cuenta de que 2 = S(1) y 3 = S(S(1)), por lo

2 + 3 = S(1) + S(S(1)) = S(S(1)+S(1)) = S(S(S(1) + 1)) = S(S(S(S(1))) = 5, donde utilizamos A2 con diferentes valores de x, u y v, etc.