Forma de solución de los flujos de Stokes

Question

Si $p:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R} $ y $u: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ satisfechos: $$\nabla p-\nabla^2u=0$$ $$\nabla\cdot u=0$$ ¿Cómo podemos demostrar que toda solución es de la forma $$u=\nabla \phi+v$$ donde $\phi:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R} $ y $v: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ satisfacer $$\nabla^2\phi=p $$ $$\nabla^2v=0$$ $$\nabla\cdot v=-p$$ $$$$

Answer 1

Supongamos que $u$ resuelve su problema.

Toma $\phi$ tal que $$\Delta\phi=p\tag{1}$$

Definir $v=u-\nabla\phi$ y nota que $$\operatorname{div}(w)=\operatorname{div}(u)-\operatorname{div}(-\nabla \phi)=0-\Delta\phi=-p\tag{2}$$

Por otro lado $$\Delta v=\Delta (u-\nabla \phi)=\Delta u-\nabla(\Delta \phi)=\nabla p-\nabla p=0\tag{3}$$

Se deduce de $(1)$ - $(3)$ que $u=v+\nabla\phi$ cumple con los requisitos preestablecidos.