$f(A \cap B)\subset f(A)\cap f(B)$, y de otra manera?

Question

Tengo una seria duda por delante de la pregunta

Ser $f:X\longrightarrow Y$ una función. Si $A,B\subset X$, muestran que $f(A \cap B)\subset f(A)\cap f(B)$

Yo lo hice de la siguiente manera

$$\forall\;y\in f(A\cap B)\Longrightarrow \exists x\in A\cap B, \text{ such that } f(x)=y\\ \Longrightarrow x \in A\text{ and }x\in B\Longrightarrow f(x)\in f(A)\text{ and }f(x)\in f(B)\\ \Longrightarrow f(x)\in f(A)\cap f(B)\Longrightarrow y\in f(A)\cap f(B)$$

Esto asegura que el$\forall y \in f(A\cap B)$$y\in f(A)\cap f(B)$, por lo $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$.

Bien, tenemos la plena demostración.

Sabemos que para la igualdad, para ser válido, entonces el $ f $ debe ser inyectiva. Pero mi pregunta es cuando debo ver que la igualdad no vale la pena, no por el contra ejemplo, pero encontrar un error en la demostración siguiente

$$\forall\;y\in f(A)\cap f(B)\Longrightarrow y\in f(A)\text{ and }y\in f(B) \Longrightarrow \\ \exists x\in A \text{ and } B, \text{ such that } f(x)=y\\ \Longrightarrow x \in A\cap B\ \Longrightarrow f(x)\in f(A\cap B)\Longrightarrow y\in f(A\cap B)$$

¿Dónde está el error en la declaración? Cual de estos pasos no pueden hacer y por qué?

Answer 1

usted escribió :

$$\forall\;y\in f(A)\cap f(B)\Longrightarrow y\in f(A)\text{ and }y\in f(B) \Longrightarrow \\ \exists x\in A \text{ and } B, \text{ such that } f(x)=y\\ $$

El problema es que en la última implicación : de $y\in f(A)\text{ and }y\in f(B)$ se obtiene que no existe $x_A\in A$ $x_B\in B$ tal que $f(x_A)=y=f(x_B)$, usted no puede asumir que $x_A=x=x_B$.

Answer 2

Supongamos $y\in f(A)\cap f(B)$. A continuación,$y\in f(A)$, por lo que no es$x_1\in A$$f(x)=y$. Por otra parte $y\in f(B)$, por lo que no es $x_2\in B$ tal que $f(x_2)=y$.

No hay ninguna razón por la cual deberíamos tener $x_1=x_2$, excepto en el caso de $f$ es inyectiva.

Contraejemplo: $X=\{1,2\}$, $Y=\{0\}$, $f(1)=f(2)=0$. Con $A=\{1\}$ $B=\{2\}$ hemos $$ f(A\cap B)=f(\emptyset)=\emptyset\\ f(A)\cap f(B)=\{0\}\cap\{0\}=\{0\} $$

Si hubiera escrito la prueba en las palabras, en lugar de acumular símbolos, probablemente han descubierto el problema.

Por supuesto que podría tomar $x_1=x_2$ en casos especiales. incluso cuando $f$ no es inyectiva. Para particuler subconjuntos $A$ $B$ podríamos tener $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ (por ejemplo, cuando se $B=X$), pero en general no, a menos que $f$ es inyectiva.

En realidad, es fácil demostrar que $f$ es inyectiva si, y sólo si, para todos los $A,B\subset X$, $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.

Answer 3

$\forall\;y\in f(A)\cap f(B)\Longrightarrow y\in f(A)\text{ and }y\in f(B) \Longrightarrow \exists x\in A \text{ and } B, \text{ such that } f(x)=y$

Usted tiene un problema aquí. $y\in f(A)\text{ and }y\in f(B) \Longrightarrow \exists x_1\in A \text{ and } x_2 \in B, \text{ such that } f(x_1)=y=f(x_2).$ $x_1$ $x_2$ No tiene que ser igual. No necesita la inyectividad de $f$ a la conclusión de que la $x_1=x_2.$

Answer 4

Cierto, si $y\in f(A)\cap f(B),$ (1) no existe $x\in A$ tal que $f(x)=y,$ y (2) no existe $x\in B$ tal que $f(x)=y.$ El error está en asumir que estas son las que hacen referencia a un determinado $x$, y que el $x$ es el mismo en ambos casos!

Más bien, debemos interpretar (1) nos dice que el $\{x\in A:f(x)=y\}\neq\emptyset,$ e interpretar (2) de manera similar. Sin embargo, sin la inyectividad, no necesariamente podemos concluir que $$\{x\in A:f(x)=y\}\cap\{x\in B:f(x)=y\}\neq\emptyset,$$ which is equivalent to saying that there is some $x\in A\cap B$ such that $f(x)=y.$