Demostrar que $\zeta (4)\le 1.1$

Question

Demostrar la siguiente desigualdad

$$\zeta (4)\le 1.1$$

Me vi en el sitio algunas pruebas para $\zeta(4)$ que el uso de la transformada de Fourier o de Euler manera para calcular su valor preciso, y que está bien y lo puedo usar. Aún así, me pregunto si hay una manera más sencilla de todo para probar
esta desigualdad. Gracias!

Answer 1

$$\zeta(4) < \sum_{n=1}^{6} \frac{1}{n^{4}} + \int_{6}^{\infty} \frac{dx}{x^4} < 1.1$$

Answer 2

$$ \begin{eqnarray} \zeta(4)&<&\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n^4} +\left(\sum_{n=10}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)^2 \\ &=& \sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n^4} + \left(\frac{\pi^2}{6}-\sum_{n=1}^{9}\frac{1}{n^2}\right)^2 \\ &=& 1.0929965... \end{eqnarray} $$

Answer 3

Uno tiene $${1\over (n-{1\over2})^3}-{1\over (n+{1\over2})^3}={3n^2+{1\over4}\over (n^2-{1\over4})^3}>{3\over n^4}\ .$$ Por lo tanto, se obtiene la suma telescópica $$\eqalign{\sum_{n=1}^\infty{1\over n^4}&=1+\sum_{n=2}^\infty{1\over n^4}< 1+{1\over3}\sum_{n=2}^\infty\Bigl({1\over (n-{1\over2})^3}-{1\over (n+{1\over2})^3}\Bigr)\cr &=1+{1\over3}{1\over(2-{1\over2})^3}=1+{8\over81}<1.1\ .\cr}$$