Atiyah-Macdonald Ex8.3: Artinian iff finito k-álgebra

Question

Atiyah Macdonald Ex8.3 Deje $k$ ser un campo y $A$ un finitely generadas $k$-álgebra. Probar que las siguientes son equvialent:
(1) $A$ es Artinian
(2) $A$ es finita $k$-álgebra.

Tengo una pregunta en la prueba de (1$\Rightarrow$2): mediante el uso de la estructura teorema, podemos suponer que la $(A,m)$ es un Artin anillo local. A continuación, $A/m$ es finita algebraicas extensión de $k$ por Nullstellensatz. Desde $A$ es Artinian, $m$ es el nilradical de $A$ e lo $m^n=0$ algunos $n$. Así pues, tenemos una cadena de $A \supseteq m \supseteq m^2 \supseteq \cdots \supseteq m^n=0$. Desde $A$ es Noetherian, $m$ es finitely generado y, por tanto, cada una de las $m^i/m^{i+1}$ es un finito dimensionales $A/m$-espacio vectorial y, por tanto, finito dimensionales $k$-espacio vectorial.

Pero ahora, ¿cómo puedo deducir que $A$ es un finito dimensionales $k$-espacio vectorial?

Answer 1

Demostrar el siguiente resultado general de álgebra lineal:

Si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $k$ e si $\{0\}=V_0\subseteq V_1\subseteq\cdots\subseteq V_{n-1}\subseteq V_n=V$ donde $V_{i}/V_{i-1}$ es un finito dimensionales $k$-espacio vectorial de todas las $1\leq i\leq n$, $V$ es un finito dimensionales $k$-espacio vectorial.

Sugerencia: Los siguientes pasos conducen a una solución. Por favor trate de probar esto en su propia referentes a cada paso posterior, como usted lo necesite. Por ejemplo, el primer intento para probar el resultado en tu propio; si usted está realmente atascado, leer el paso (1). A continuación, tratamos de probar el resultado con el paso (1) como una sugerencia, y sólo si usted está realmente atascado debería usted leer el paso (2).

(1) trabajamos por inducción en $n$. El resultado es claro si $n=1$. En general, supongamos que hemos demostrado el resultado de $n-1$ y el deseo de probar el resultado para $n$. Mostrar que no es suficiente para establecer el siguiente resultado:

Si tenemos una torre de $\{0\}\subseteq W\subseteq V$ donde $W$ $V/W$ son finito dimensionales $k$-espacios vectoriales, a continuación, $V$ es un finito dimensionales $k$-espacio vectorial.

(2) Vamos a demostrar el resultado directamente de arriba. Desde $V/W$ es finito dimensional, podemos elegir una tupla $(v_1+W,\dots,v_n+W)$ que abarca $V/W$ donde $v_i\in V$ todos los $1\leq i\leq n$. Del mismo modo, desde la $W$ es finito dimensional, podemos elegir una tupla $(w_1,\dots,w_m)$ que abarca $W$ donde $w_j\in W$ todos los $1\leq j\leq m$. Demostrar que la tupla $(v_1,\dots,v_n,w_1,\dots,w_m)$ abarca $V$.

(3) a la Conclusión de que $V$ es finito dimensional por inducción.

Espero que esto ayude!

Answer 2

Alternativamente, la cadena puede ser refinado para una composición de serie será de longitud finita, ya que cada cociente es de longitud finita y para los k-espacios de esto es equivalente a la de dimensión finita. (Prop. 6.10 M-a)