Difícil ecuación Integral - por dónde empezar?

Question

¿Cómo usted va sobre la resolución de este? $$p(x,t)=C\exp\left[-x+\int_0^t\int_0^\infty y\,p(y,\tau)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}\tau\right]$$

Aquí $p(x,t)$ es el tiempo-dependiente de la distribución de probabilidad de una variable $x$, por lo que debe ser normalizado a 1, y positiva en todas partes. También, tenemos la condición inicial: $$p(x,0) = \exp\left[-x\right]$$

Llegué a través de esta ecuación en un trabajo que estoy haciendo, y estoy atascado. No sabemos lo suficiente acerca de las ecuaciones integrales para saber por dónde empezar.

¿Hay alguna esperanza para resolver esto? ¿Por dónde empezar?

Answer 1

Observe que el término $$\int_0^t \int_0^\infty y p(y,\tau) dy d\tau$$ sólo depende de $t$, por lo que $$p(x,t) = C e^{-x} e^{f(t)}$$ con $$f(t) := \int_0^t \int_0^\infty y p(y,\tau) dy d\tau$$ la sustitución de $p$ en la última ecuación $$f(t) = C \int_0^t e^{f(\tau)} d\tau \underbrace{\int_0^\infty y e^{-y} dy}_{1} = C\int_0^t e^{f(\tau)} d\tau$$.

$$f'(t) = C e^{f(t)}$$ y usted puede resolver este problema DE.(observe que $f(0) = 0$)