El círculo no es contráctiles

Question

Sé que el círculo no es contráctiles porque sé que $\pi_1(S^1)\cong \mathbb Z$. Pero algo va mal en mi cabeza. Elija un punto de base $*$ sobre el círculo y optaron por una orientación (hacia la derecha dicen) y para cada punto en el círculo tomamos la senda a partir de ese punto para el punto base $*$ de las agujas del reloj y sólo toma un tour, es decir, la primera vez que nos reunimos $*$ nos detenemos. Esto parece que nos dan de forma continua para contratar el círculo en $*$, haciendo que el círculo contráctiles, lo que está mal con este razonamiento ?

Answer 1

A mí me parece que en las habituales coordenadas polares en el círculo, OP está hablando acerca de la homotopy $$ H: S^1 \times [0, 1] \S^1 : (\theta, s) \mapsto (1-s) \theta. $$

Para $s > 0$, este mapa no es continua en a $\theta = 0$, porque no hay barrio de $0$ se asigna a un pequeño barrio de $H(0, s)$. Por lo tanto no es una deformación de retracción de $S^1$ a un solo punto.

Post-comentario adicional:

Veamos $s = \frac{1}{2}$. La fijación de $s =\frac{1}{2}$, nuestro mapa parece

$$ \theta \mapsto H(\theta,\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \theta. $$ Vamos, por tanto, darle un nombre, y decir $$ f(\theta) = \frac{1}{2}\theta. $$

Elija un pequeño barrio de $0$, dicen, $$ U = (0 \le \theta < 0.1) \cup (2\pi - 0.1 < \theta < 2\pi) $$

Bajo el mapa $f$, $0$ va a $0$ (es decir, $f(0) = 0$). Así que la preimagen de $U$, en $f$, es decir, $f^{-1}(U)$ debe contener un barrio de $0$.

OK: pequeño admisión aquí. Realmente debería estar diciendo "para cualquier vecindad $U$$0$, hay un barrio de $V$ $0$ con la propiedad de que $f(V) \subset U$." En su lugar, voy a ver el$f^{-1}(U)$, y señalan que "se ve mal", es decir, que si no contiene ningún vecindario $V$$0$.

¿Qué es $f^{-1}(U)$? Bien, $U$ es una unión de dos piezas. La preimagen de la primera parte es $$ \{ \theta \mediados de 0 \le \theta < 0.2 \}. $$ Lo suficientemente claro, espero.

La preimagen de la segunda parte está vacía.

Eso significa que la preimagen de $U$ contiene ningún puntos que están por debajo de los $2\pi$, por lo que no puede contener cualquier barrio de $\theta = 0$, desde todos los barrios de $\theta = 0$ contienen puntos de con $\theta$ arbitrariamente cerca de $2\pi$.

Answer 2

Usted tiene una familia de $(\gamma_t)_{t\in[0,1]}$ de continuo los mapas desde el círculo a sí mismo tal que $\gamma_0$ es la identidad, $\gamma_1$ es constante, y $\gamma_t\to\gamma_1$ pointwise es $t\to1$. Pero contractibilidad requiere que $\gamma_t\to\gamma_1$ uniformemente.

Al menos esa es la forma en que lo leí tu descripción. Es lo suficientemente vaga que podría ser parte de la familia de los mapas que tienes en mente no es el que yo pensaba que significaba.

Para aclarar la ambigüedad: Vamos a hablar sobre el intervalo de $[0,1]$ con los puntos de $0$ $1$ identificado.

Podría ser que significar algo así como $$f_t(x)=x^{1-t}.$$That satisfies $f_0(x)=x$, $f_1(x)=1=0$, and each $f_t$ is continuous. That's what I was assuming above; the problem is that $f_t\a f_1$ pointwise pero no de manera uniforme.

O podría ser que significar algo así como $$f_t(x)=x(1-t),$$in which case $f_t\a f_1$ uniformly but $f_t$ is not continuous. (More accurately, $f_t$ is not even well-defined on our quotient space, since $f_t(0)\ne f_t(1)$. Defining a similar map on $[0,1)$ give something discontinuous, if we note that points close to $1$ are close to $0$.)

Answer 3

Como prueba de esto en los puntos de más lejos y más lejos a lo largo del camino, de iniciar el contacto con el punto de $*$ desde el otro lado. Para ser continua también allí, tendrías que arrastrar $*$ alrededor del círculo una vez y, a continuación, los puntos ligeramente pasado de una vez y un poco. Pero eso está en contradicción con la regla de que sólo se mueven de ellos hasta llegar a $*$ el primer tiempo. Por lo que su contracción va a rasgar el círculo de la derecha en el punto de $*$, la violación de la continuidad.

Answer 4

no es continua en a $*$. Construir un homotopy $H_t:S^1\rightarrow S^1$ tal que $H_t(x)=c_t(x)$ donde $c_t$ es la ruta que va hacia el $*$ $x$ de las agujas del reloj. Usted debe tener $H_t(*)=*$. Existe una secuencia $lim_nx_n=*$ antihorario tal que $x_n\neq *$ $lim_nH_t(x_n)=c_t(x_n)=*$ al contario de lo contrario, $H_t(S^1), t<1$ es homeomórficos a un no intervalo cerrado. Imposible, ya que la imagen de $S^1$ $H_t$ tiene que ser compacto. Por lo tanto $H_t(S^1)=S^1, t<1$, esto implica que $H_1(S^1)=S^1$ Para ver esto vamos a $x\in S^1$, e $t_n$ tal que $lim_nt_n=1,t_n<1$ no $x_n$ tal que $H_{t_n}(x_n)=x$. Usted puede encontrar una larga $x_{i(n)}$ $x_n$ que converge hacia $y$, $H_1(y)=lim_nH_{t_{i(n)}}(x_{i(n)})=x$. Contradicción ya que el $H_1(S^1)=*$.