Sobre entero de soluciones de la ecuación de $x^2+y^2+z^2=16(xy+yz+zx-1)$

Question

Aquí está la pregunta:

Pregunta. Demostrar que la ecuación $$x^2+y^2+z^2=16(xy+yz+zx-1)$$ no se han entero de soluciones.

Sé agradable y fácil (en realidad, una obvia) para resolver este problema. Pero me pregunto ¿podemos resolver esto mediante infinito descenso método? Recuerdo que me vi en una solución con ese método, pero estaba equivocada.

Answer 1

Aquí es otro enfoque y solución.

El uso de la identidad de $X^2 + Y^2 + Z^2 = (X + Y + Z)^2 - 2(XY + XZ + YZ)$

Sustituyendo y simplificando obtenemos

$$(X + Y + Z)^2 + 16 = 18(XY + XZ + YZ)$$

Pero sabemos de Fermat y otros que la suma de $2$ plazas no es divisible por los números primos de la forma $4N+3$ menos que ambos cuadrados son sí divisible por tan importante. Desde $16$ no es divisible por cualquier de los números primos de la forma $4N+3$, vemos que el lado izquierdo de la ecuación no puede ser divisible por $3$, mientras que el lado derecho es divisible por $3$. El contradicción concluye la prueba.

Answer 2

El siguiente es un enfoque que no es infinito descenso, pero imita al principio descenso enfoques a problemas similares.

En cualquier plaza es congruente a $0$, $1$, o $4$ modulo $8$. De ello se deduce fácilmente que en cualquier solución de la ecuación dada, $x$, $y$, y $z$ debe ser, incluso, dicen $x=2r$, $y=2s$, $z=2t$. Sustituir y simplificar. Tenemos $$r^2+s^2+t^2=16(rs+st+tr) -4$$

El uso de más o menos la misma idea, podemos observar que $r$, $s$, y $t$ debe ser par. Vamos $r=2u$, $s=2v$, $t=2w$. Sustituir y simplificar. Tenemos $$u^2+v^2+w^2=16(uv+vw+wu)-1$$

Ahora, el descenso se detiene. El lado derecho es congruente a $-1$ modulo $8$, pero ya suma de $3$ plazas se puede.

AGREGÓ: "he encontrado una manera para hacer el descenso infinito, para probar la existencia de un mayor resultado. Observa la ecuación $$x^2+y^2+z^2=16(xy+yz+zx)-16q^2$$ Queremos mostrar que la única solución es la trivial $x=y=z=q=0$. El argumento es más o menos la misma que la anterior, excepto que cuando (después de $2$ pasos) llegamos a $-q^2$, podemos observar que hay una contradicción en si $q$ es impar, así que ahora vamos a $q$ ser incluso, y el descenso continúa. Probablemente sería más atractivo el uso de $8$$16$, e $4q^2$ en lugar de $16q^2$.