Hatcher 3.3 Ejercicio 31

Question

Lo siguiente es una pregunta de "Algebraic Topology" de Hatcher:

Sea $M$ un variedad compacta orientable en $R$ de dimensión $n$, entonces el mapa de frontera $\partial : H_n(M,\partial M;R) \to H_{n-1} (\partial M)$ envía una clase fundamental para $(M,\partial M)$ a una clase fundamental para $\partial M.

Sin embargo, Hatcher no trata la clase fundamental para una homología relativa. No sé lo que significa la clase fundamental para $\\(M,\partial M)$. De hecho, ni siquiera tengo idea de cómo definir una orientación para una homología relativa. Por lo tanto, no puedo empezar. ¿Podrías ayudarme?

Answer 1

...cuando $M$ es $R$-orientable, el Lema 3.27 da una clase fundamental relativa $[M]$ en $H_n(M,\partial M; R)$ que restringe a una orientación dada en cada punto de $M-\partial M$.

(Hatcher, Sección 3.3, Subsección «Otras Formas de Dualidad»)

Answer 2

Para proporcionar un poco de intuición, una forma de pensar en la clase fundamental de una variedad compacta de $n$ dimensiones $M$ (quizás con frontera) es triangular $M$ y sumar todas las caras de dimensión $n$, "compatiblemente orientadas". En el caso de una variedad sin frontera, esto define un ciclo. En el caso de una variedad con frontera, esto define un ciclo relativo; es decir, la frontera de esta cadena está contenida en $\partial M$. De hecho, esa $(n-1)$-cadena en $\partial M$ es la clase de orientación para $\partial M. Inténtalo con un disco en $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^3$.