Caracterizar el campo de fracciones de $\mathbb Q[x,y]/(x^2+y^2-1)$.

Question

Deje $A = \mathbb Q [x, y] / (x ^ 2 + y ^ 2 - 1)$ y tenga en cuenta que $A$ es un dominio. Cómo mostrar que $\operatorname{Quot} (A)$ (o $\operatorname{Frac} (A)$, es decir, el "campo de fracciones") es isomorfo a $\mathbb Q (t)$?

Sé que la parametrización del clásico círculo es $$t\mapsto \left(\frac{1 - t ^ 2}{ 1 + t ^ 2}, \frac{2t}{1 + t ^ 2}\right)$$

Answer 1

Definir un $\mathbb{Q}$-álgebra homomorphism $\mathbb{Q}[x,y]$ $\mathbb{Q}(t)$mediante el envío de $x$$\frac{1 - t ^ 2}{ 1 + t ^ 2}$$y$%#%. El ideal generado por a $\frac{2t}{ 1 + t ^ 2}$ es claramente en el núcleo, por lo que el mapa desciende a un mapa de $x^2+y^2-1$. Un mapa integral entre dominios induce un mapa entre su fracción campos, por lo que obtener un $A=\mathbb{Q}[x,y]/(x^2+y^2-1) \rightarrow \mathbb{Q}(t)$ (desde $Frac(A) \rightarrow \mathbb{Q}(t)$ es su propia fracción de campo). Este es un mapa distinto de cero entre los campos, por lo que es automáticamente inyectiva. Por lo tanto, es suficiente para mostrar surjectivity. Esto puede hacerse mediante la construcción de un explícito preimagen de cualquier función racional $\mathbb{Q}(t)$ (sugerencia: comience por encontrar una preimagen de $p(t)/q(t)$).