¿La independencia de los acontecimientos dependen de probabilidad subyacentes modelo?

Question

Considere la posibilidad de un espacio muestral de dos lanzar una moneda = $\{HH, HT, TH, TT\}$.
Supongamos que la moneda es justo y, por tanto, cada resultado tiene probabilidad de $\frac{1}{4}$.

Ahora, considere la posibilidad de otro modelo de probabilidad donde la moneda es parcial, y que la cabeza se produce con una probabilidad de $\frac{3}{4}$.
En este modelo las correspondientes probabilidades = $\{\frac{9}{16}, \frac{3}{16}, \frac{3}{16}, \frac{1}{16}\}$.

Definición de independencia $P(A \cup B) = P(A)P(B)$
Evento $A$ = primer lanzamiento de la moneda de los resultados en la cabeza = $\{HT, HH\}$
Evento $B$ = ambos lanzamiento de la moneda de los resultados en el mismo resultado = $\{HH, TT\}$

Primer modelo:
$P(A) = P(\{HT,HH\}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
$P(B) = P(\{HH,TT\}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
$P(A \cup B) = P(\{HH\}) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = P(A)P(B)$
Por lo tanto, en este modelo de probabilidad de los eventos de $A$ $B$ son independientes.

Segundo modelo :
$P(A) = P(\{HT,HH\}) = \frac{3}{16} + \frac{9}{16} = \frac{12}{16}$
$P(B) = P(\{HH,TT\}) = \frac{9}{16} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16}$
$P(A \cup B) = P(\{HH\}) = \frac{9}{16}$ que no es igual a $P(A)P(B) = \frac{15}{32}$
Por lo tanto, en este modelo de probabilidad de los eventos de $A$ $B$ no son independientes

Por lo tanto, la independencia de los acontecimientos dependerá de la probabilidad subyacentes del modelo.
Sin embargo, no estoy llegando a la intuición. ¿Alguien puede explicar?

También la regla de Bayes y la ley de total probabilidad es aplicable con independencia de probabilidad subyacentes modelo así que ¿por qué la independencia de eventos difiere de un modelo de probabilidad a otro?

Answer 1

Ambos eventos tienen un $HH$ en ellos. Por lo tanto, si la prob de los jefes es mayor que $0.5$, hay una fuerte probabilidad de que ambos ocurrir. Otra forma de pensar de la independencia es:

Originalmente,

$P(B \cup A) = P(A)P(B|A)$

$A$ $B$ son independientes iff $P(B|A) = P(B)$

Si $A$ se produce, no es una oportunidad, porque es debido a la$HH$. Si $A$ se produce debido a la$HH$, $B$ se produce. En el segundo modelo, la posibilidad de cabezas es mayor y por lo tanto la posibilidad de $HH$ es mayor.

Posiblemente relacionadas con: http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand's_box_paradox