¿Qué beneficios aportan los números reales a la teoría de los números racionales?

Question

Los números complejos facilitan la búsqueda de soluciones reales de ecuaciones polinómicas reales. La topología algebraica hace más fácil probar los teoremas de la topología (muy) elemental (por ejemplo, la invariancia del teorema de dominio).

En ese sentido, ¿qué son los teoremas puramente acerca de los números racionales cuyas pruebas son ayudadas en gran medida por la introducción de los números reales?

Por "puramente" quiero decir: no sobre secuencias de Cauchy, cortes de Dedekind, etc. de números racionales. (Esto es, por supuesto, una afirmación meta-matemática y por lo tanto imprecisa por naturaleza.)

"No, no existe tal cosa, porque..." también sería una respuesta valiosa.

Answer 1

Tal vez esto sea un poco trivial, pero considero que la capacidad de reescribir $$A=\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$$ como $$A=\{x \in \mathbb{Q} : -\sqrt{2} <x<\sqrt{2}\}$$ para ser un beneficio.

Esta última caracterización hace que la "estructura" de este conjunto sea mucho más clara; en particular, queda repentinamente claro por qué este conjunto es convexo, con lo que quiero decir que si $x,y \in A$ , entonces para todos los $a \in \mathbb{Q}$ Satisfaciendo a $x<a<y$ tenemos $a \in A$ .

Answer 2

Los números reales junto con todas las demás terminaciones de los racionales conocidas como $p$ -adics son muy útiles para encontrar racional soluciones de formas cuadráticas. Un principio general conocido como Principio de Hasse afirma que una forma cuadrática en $n$ variables tiene soluciones racionales si y sólo si tiene soluciones en cada terminación.