Demostrar $\log x!$ $\Omega (xlogx)$

Question

Encontrar un número real positivo $C$ y un número real no negativo $x_o$ tal que

$Cx$$\log x$ $\leq$ $\log x!$ para todos los números reales $x > x_o$.

He intentado expandir $\log x!$ a $\log 1 + \log2 +\log3 +....\log x$. Pero, ¿cómo puedo elegir el $C$$x_o$, por lo que la desigualdad anterior?

Todas las sugerencias se agradece.

Answer 1

Para$k\ge 2$,$\log k\ge \int_{k-1}^{k}\log t\,dt$. Suma de$k=2$$n$, nos encontramos con que $$\log 2 +\log 3 + \log 4+ \cdots +\log n \ge \int_1^n \log t\,dt=n\log n-n.$$
Si $n\ge 9$,$n\log n-n \gt \frac{1}{2}n\log n$.