Límite de un producto $(1 + \frac{k}{n})$

Question

Estoy intentando encontrar el límite de

$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}$$

Tengo que es equivalente a la

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\right)$$

No puedo llegar más lejos. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Tienes una suma de Riemann: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)=\int_{0}^{1}\log(1+x)\,dx = \color{red}{-1+2\log 2},$$ por lo que el límite original es igual a $\large\color{red}{\frac{4}{e}}$ .

Answer 2

Sea $$\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}\left(\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)\right)^{1/n} = \lim_{n\rightarrow \infty}\left[\left(\frac{n+1}{n}\right)\cdot \left(\frac{n+2}{n}\right)....\left(\frac{n+n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$$

Así obtenemos $$\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}\left[\frac{(2n)!}{n^n\cdot n!}\right]^{\frac{1}{n}}$$

Utilizando ahora la aproximación de Stirling $$\displaystyle n! = \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\cdot \sqrt{2\pi n}$$

Así obtenemos $$\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}\left[\frac{\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}\cdot \sqrt{4\pi n}}{n^n\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^{n}\cdot \sqrt{2\pi n}}\right]^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left[\frac{\frac{4n^2}{e^2}\times \sqrt{2}}{\frac{n^2}{e}}\right]^{\frac{1}{n}}$$

Así obtenemos $$\displaystyle L = \frac{4}{e}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty}(2)^{\frac{1}{2n}}= \frac{4}{e}.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ \sum_{k\leq n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)=\sum_{k\leq n}\log\left(k+n\right)-n\log\left(n\right) $$ y utilizando Fórmula de suma de Abel tenemos $$\sum_{k\leq n}\log\left(k+n\right)=\sum_{n<k\leq2n}\log\left(k\right)=2n\log\left(2n\right)-n\log\left(n\right)-\int_{n}^{2n}\frac{\left\lfloor t\right\rfloor }{t}dt $$ donde $\left\lfloor t\right\rfloor $ es la función suelo. Así, utilizando $\left\lfloor t\right\rfloor =t+O\left(1\right) $ obtenemos $$=n\log\left(n\right)+2n\log\left(2\right)-n+O\left(\log\left(n\right)\right) $$ de ahí $$\frac{1}{n}\sum_{k\leq n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{n}\left(2n\log\left(2\right)-n+O\left(\log\left(n\right)\right)\right)\rightarrow2\log\left(2\right)-1. $$