Topología de secuencias convergentes

Question

Deje $(X,\tau)$ ser un espacio topológico, y de considerar a la familia $\mathcal{F}$ de las topologías más de $X$ de manera tal que las secuencias convergentes para cada una de las $\gamma \in \mathcal{F}$ son las mismas que las secuencias convergentes para $\tau$, con los mismos límites. Es decir, $$ \mathcal{F} = \{\gamma \;|\; x_n \xrightarrow{\gamma} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow{\tau} x\} $$

Es fácil ver que la topología de la $\tau_M$ generado por las topologías en $\mathcal{F}$ es tal que $\tau_M \in \mathcal{F}$. El $\tau_M$ es de los mejores de la topología con la misma secuencias convergentes como $\tau$, convergiendo en el mismo punto.

Pero es cierto que la topología de la $$ \tau_m = \bigcap_{\gamma \in \mathcal{F}} \gamma $$ es en sí mismo en $\mathcal{F}$?

En otras palabras, no se sigue que las secuencias convergentes para $\tau_m$ y sus límites son las mismas que las secuencias convergentes y sus límites en $\tau$? ¿Hay algún buen contraejemplos?

En otras palabras, de nuevo, tenemos una más débil de la topología tal que las secuencias convergentes y sus límites son los mismos como los de $\tau$?

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Edit:se Fija de acuerdo con @joriki del comentario.

Answer 1

Tomando la intersección puede introducir nuevas secuencias convergentes.

Deje $p$ ser un punto de no $\omega$. Deje $X=\{p\}\cup\omega$. Para cada ultrafilter $\mathscr{U}$ $\omega$ definir una topología $\tau_{\mathscr{U}}$ $X$ como sigue. Puntos de $\omega$ son aislados, y la base de abrir nbhds de $p$ $\tau_{\mathscr{U}}$ son los conjuntos de la forma $\{p\}\cup U$ tal que $U\in\mathscr{U}$. La única secuencias convergentes de $\langle X,\tau_{\mathscr{U}}\rangle$ son los triviales. Vamos $$\tau=\bigcap_{\mathscr{U}\in\beta\omega\setminus\omega}\tau_{\mathscr{U}}\;.$$ A set $W\subseteq X$ belongs to $\tau$ iff $p\noen W$, or $W\ \ en\mathscr{U}$ for all $\mathscr{U}\in\beta\omega\setminus\omega$. But the only subsets of $\omega$ that belong to all free ultrafilters on $\omega$ son los cofinite conjuntos, y de ello Se sigue que

$$\tau=\wp(\omega)\cup\{W\subseteq X:p\in W\text{ and }|\omega\setminus W|<\omega\}\;.$$

Es decir, los puntos de $\omega$ están aislados en $\langle X,\tau\rangle$, y la base de abrir nbhds de $p$ son los conjuntos de la forma $\{p\}\cup(\omega\setminus F)$ tal que $F$ es finito. Pero, a continuación, $\langle k:k\in\omega\rangle$ es una secuencia en $X$ que $\tau$-converge a $p$.

Ahora vamos a $\tau'$ ser la intersección de todas las topologías en $X$ tener sólo el trivial secuencias convergentes. Claramente $\tau'\subseteq\tau$, lo $\langle k:k\in\omega\rangle$ converge a$p$$\langle X,\tau'\rangle$.