p-fuente de raíces de la unidad en los campos de la región

Question

Deje $K$ ser un campo de número y supongamos $K$ no contiene $p$-potencia raíces de la unidad. Deje $\mathcal{P}$ ser una de las primeras de $K$ por encima de lo racional prime $p$. Alguien puede probar o refutar la afirmación de que el campo local $K_{\mathcal{P}}$ no contendrá $p$-potencia raíces de la unidad?

Answer 1

A mí me parece que esto es falso. Deje $K = \mathbb{Q}(z)/(z^p-1-p^2)$. Esta es una extensión de grado $p$, por lo que es disjunta de la p-ésima cycloctomic campo, y por lo tanto no contiene un $p$-ésima raíz de $1$. Por lo tanto, también puede no contener una $p^k$-ésima raíz de 1.

Ahora, vamos a ver cómo $z^p - 1 - p^2$ factores en Q_p. Ya hay un p-ésima raíz de $1+p^2$ en Q_p; llamar a esta raíz. (Para ver esto, observe que la potencia de la serie $(1+x)^{1/p} = 1+(1/p)x + (1/\binom{p}{2})x^2 + ...$ converge para $x=p^2$.)

Deje $\mathcal{P}$ ser una de las primeras de $K$ correspondiente a un factor de $z^p-1-p^2$ otros de z-a. (De hecho, $( z^p-1-p^2)/(z-a)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}_p$, pero yo no necesito eso.) Por lo $K_\mathcal{P}$ contiene una raíz b de $z^p-1-p^2$ otros de $a$. Pero, a continuación, $b/a$ $K_\mathcal{P}$ $p$- ésima raíz de 1.

Esto podría ser cierto si usted pregunta a $K/\mathbb{Q}$ a Galois, pero yo apostaría en contra de ella.

Answer 2

Hay más general de la heurística de aquí, que apuesto a que el número de teóricos pueden definir en forma más precisa. Preguntas acerca de Galois grupos tienden a ser localmente constante en el $p$-ádico de configuración. Por ejemplo, consideremos el conjunto de monic polinomios de grado $d$ con coeficientes en $\mathbb{Q}_p$, topologized como $\mathbb{Q}_p^d$. Entonces yo creo que las propiedades tales como "tiene una raíz en $\mathbb{Q}_p$", "divide completamente en $\mathbb{Q}_p$", "ha abelian grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}_p$" debe ser localmente constante.

Esto me llevó a creer que debería ser capaz de perturbar $z^p-1$ ligeramente para obtener un polinomio donde el campo correspondiente todavía contenía raíz de $(z^p-1)/(z-1)$.

Answer 3

Otro contraejemplo, a lo largo de las mismas líneas que la dada por el otro David S. pero tal vez más "estándar", es que $\mathbb{Q}_p(\zeta_p) = \mathbb{Q}_p((-p)^{1/(p-1)})$; por lo $K = \mathbb{Q}((-p)^{1/(p-1)})$ va a hacer. Como "desconocido" se ha mencionado, Krasner del lema explica por qué usted esperaría que esto es falso.