Izquierda/Derecha Cosets

Question

Estoy tratando de entender a la izquierda/derecha cosets en teoría de grupos.

Aquí está el ejemplo en mi texto:

Deje $G = \lbrace 1, a, b, c, d ,e \rbrace$

Permite definir el grupo de operación $.$ por la tabla siguiente, en la entrada de la fila $x$ y la columna $y$ da $x.y$

ex. $d.e = b$

 

Esto no es problema yo entiendo esto. Pero luego nos vamos a la izquierda y a la derecha cosets.

Deje $G$ ser un grupo y vamos a $H \leq G$. A la izquierda coset de $H$ en $G$ ($G / H$) es un conjunto de la forma $gH = \lbrace gh : h \in H \rbrace$ algunos $g \in G$. Un derecho coset de $H$ en $G$ ($H$ \ $G$) es un conjunto de la forma $Hg = \lbrace hg : h \in H \rbrace$ algunos $g \in G$.

Aquí hay algunos ejemplos que estoy tratando de averiguar cómo se generan. Supongo que simplemente no entienden la teoría plenamente. Me gustaría un poco de ayuda la explicación y la posible un par de ejemplos más.

$\lbrace 1, a, b, c, d, e \rbrace / \lbrace 1, a, b \rbrace = \lbrace \lbrace1, a, b\rbrace , \lbrace c, d, e \rbrace\rbrace$
$\lbrace 1, a, b \rbrace$ \ $\lbrace 1, a, b, c, d, e\rbrace = \lbrace \lbrace 1, a, b \rbrace, \lbrace c, d, e \rbrace \rbrace$
$\lbrace 1, a, b, c, d, e \rbrace / \lbrace 1, c \rbrace = \lbrace \lbrace 1, c \rbrace, \lbrace a, d \rbrace, \lbrace b, e \rbrace \rbrace$

Un par de ejemplos más que quiero averiguar son:
$\lbrace 1, a, b, c, d, e \rbrace / \lbrace 1, e \rbrace = ?$
$\lbrace 1, d \rbrace$ \ $\lbrace 1, a, b, c, d, e \rbrace = ?$

Gracias!

Answer 1

Si la tabla es correcta, debe ser el grupo simétrico en tres letras, con un y b de 3 ciclos, y c, d, y e las transposiciones.

Ahora. Su primer ecuaciones es, por desgracia, el absurdo. El conjunto que contiene $1$, $a$, $b$, $c$, $d$, y $e$ ciertamente no es igual al conjunto cuyos elementos son los conjuntos de $\{1,a,b\}$$\{c,d,e\}$. Usted está escribiendo tonterías. El resto son un poco mejor porque está buscando en cosets. Fija en el problema.

$G$ tiene seis diferentes subgrupos: el subgrupo trivial $\{1\}$; el conjunto de los subgrupos $G$; un subgrupo de orden tres, $H=\{1,a,b\}$, y los tres subgrupos de orden dos: $K_1=\{1,c\}$, $K_2=\{1,d\}$, y $K_3=\{1,e\}$.

¿Cuáles son la izquierda cosets de $H$$G$? Ellos son los conjuntos de $1H$, $aH$, $bH$, $cH$, $dH$, y $eH$. Como sucede, $1H=aH=bH = H$, e $cH=dH=eH=\{c,d,e\}$. Puede comprobar exlicitly; por ejemplo, $$aH = \{ ah : h \in H\} = \{a1, aa, ab\} = \{a, b, 1\} = H$$ y $$cH = \{ ch: h \in H\} = \{c1, ca, cb\} = \{c, e, d\}.$$

El derecho de los costos de $H$ son los mismos que los de la izquierda cosets.

Ahora, ¿cuáles son la izquierda cosets de $K_3=\{1,e\}$$G$? Ellos son los conjuntos de $1K_3$, $aK_3$, $bK_3$, $cK_3$, $dK_3$, y $eK_3$. Ellos son: $$\begin{array}{rcl} 1K_3 & = & \{1k : k \in K_3\} = \{11, 1e\} = \{1,e\} = K_3\\ aK_3 & = & \{ak : k \in K_3\} = \{a1, ae\} = \{a, c\}.\\ bK_3 & = & \{bk : k \in K_3\} = \{b1, be\} = \{b, d\}.\\ cK_3 & = & \{ck : k \in K_3\} = \{c1, ce\} = \{c, a\} = aK_3.\\ dK_3 & = & \{dk : k \in K_3\} = \{d1, de\} = \{d, b\} = bK_3.\\ eK_3 & = & \{ek : k \in K_3\} = \{ei, ee\} = \{e, 1\} = K_3. \end{array}$$ Así que hay tres distintas a la izquierda cosets, y son $\{1,e\}$, $\{a,c\}$, y $\{b,d\}$.

Lo son el derecho cosets de $\{1,d\}$$G$? Son $K_21$, $K_2a$, $K_2b$, $K_2c$, $K_2d$, y $K_2e$. Vamos a ser un poco más inteligente esta vez, en lugar de computación ellos directamente: sabemos que cualquiera de los dos distintos cosets son distintos, y que el derecho coset de $x$ contiene $x$. Por lo $K_21$ contiene $1$$d$, por lo tanto debe ser igual a la derecha coset de $d$, $K_2d$; es decir, $K_21=K_2d = \{1,d\}$. El derecho coset de $a$ contiene $a$ y contiene $da = c$, por lo tanto debe ser igual a la derecha coset de $c$, $K_2c$; de hecho lo es, como $dc = a$; por lo $K_2a=K_2c=\{a,c\}$. Y el derecho coset de $b$, $K_2b$, contiene $b$$db=e$, por lo tanto debe ser igual a la derecha coset de $e$, $K_2e$, el que lo hace (desde $de=b$$1e=1$). Por lo $K_2b=K_2e=\{b,e\}$. Así que los tres de la derecha cosets de $K_2$ $G$ $\{1,d\}$, $\{a,c\}$, y $\{b,e\}$.

Answer 2

La idea fundamental de un coset es la de tomar un subgrupo y "traducir" para rellenar $G$. Un coset es sólo uno de esos "traducir." No coset sino $H$ sí es un subgrupo de $G$, ya que no contienen $1$, pero hay una gran cantidad de terreno que puede ser cubierto por tratarlos como elementos de un grupo o conjunto en su lugar. Desde la cardinalidad de los cosets es constante, que representan maneras de dividir $G$, y se obtiene agradable fórmulas como $|G|=|H|[H:G]$ donde $[H:G]$ es llamado el índice de $H$ $G$ y es igual al número de cosets.

En mi opinión, el mayor uso de los cosets es establecer la idea de un cociente de grupo. Usted puede haber visto la idea general -- formalmente dividir una estructura matemática por una subestructura -- en otros campos, como la topología. Lo que se hace en casi todos los casos es añadir, a las leyes que definen su estructura matemática, otra ley que establece que todo en la subestructura igual a un punto, o la identidad, o cero. A continuación, intenta hacer que todo lo demás funcione.

En teoría de grupos, en particular, el conjunto de $G/H$ (o $H\backslash G$) siempre tiene un inducido de la estructura del grupo al $H$ es un subgrupo normal. Y de hecho, es fácil que la mayoría de el tiempo para pensar en sus elementos abstractos e indivisible de los elementos del grupo. Pero a veces, especialmente cuando usted está demostrando que esto funciona, es útil pensar en ellos como clases de equivalencia lugar, donde la relación es de equivalencia de la forma $a\sim b$ al $a=bh$ algunos $h\in H$. Por supuesto, una clase de equivalencia es sólo el coset $bH$.

Te voy a dar un buen ejemplo con abelian grupos antes de pasar.

El cociente grupo $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es el conjunto de cosets de la forma$x+\mathbb{Z}$,$(x+\mathbb{Z})+(y+\mathbb{Z})=(x+y)+\mathbb{Z}$, que es solo la inducida por la adición. Pero también se puede pensar en los elementos del grupo como los números de la forma $0\le x<1$, con la adición que se realiza "modulo $\mathbb{Z}$": es decir, $x+y$ $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es igual a la parte fraccionaria de $x+y$$\mathbb{R}$. Así que todo lo que realmente tenemos es un círculo con una operación de adición. Un lugar donde esto aparece es el grupo formado por los números de $e^{i\theta}$, el círculo unidad en $\mathbb{C}$, en virtud de la multiplicación.

(Otro, recien ejemplo es $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$. Yo no sé mucho acerca de ella en términos de la teoría de grupo, sino que da lugar a un estándar ejemplo de no-medibles conjunto en el análisis.)

Otro uso de los cosets emergente al grupo de estudio de las acciones. Creo que esta es sólo llama la coset de acción. Básicamente, dado un subgrupo $H$, $G$ actúa en $G/H$ por multiplicación: $(g,kH)\mapsto gkH$. Sorprendentemente, esta acción funciona de manera diferente a $G$'s de la multiplicación normal sobre sí mismo. Yo no conozco a ningún buen ejemplo de esto.

Ahora echemos un vistazo a la coset preguntas que usted ha mencionado.

En primer lugar, la línea de $\lbrace 1,a,b,c,d,e\rbrace=\lbrace\lbrace 1,a,b\rbrace,\lbrace c,d,e\rbrace\rbrace$ parece un error de escritura o algo.

Ahora echemos un vistazo a la derecha cosets de $\lbrace 1,a,b\rbrace$$G$. Si usted mira en la esquina superior izquierda de la tabla de multiplicación, se puede ver que a la derecha de la multiplicación por $a$ o $b$ más que el mismo establezca $\lbrace 1,a,b\rbrace$, a pesar de que sus elementos se permutan. Multiplicando por $c,d,$ o $e$ da algo diferente. No tenemos que comprobar que todos dan el mismo coset, puesto que los tamaños de los cosets son idénticos.

En el segundo ejemplo, se puede ver en las dos columnas marcadas $1$$c$. A continuación, sólo tienes que escanear hacia abajo de las filas: $a\mapsto\lbrace a,d\rbrace,b\mapsto\lbrace b,e\rbrace,c\mapsto\lbrace c,1\rbrace$, y así sucesivamente. Estos son todos los cosets, y la identificación de los tres es fácil. También muestran algo muy importante: si, por ejemplo, $aH=\lbrace a,d\rbrace$, usted sabe que es un hecho que $dH$ es el mismo, simplemente porque $H$ contiene $1$. Por lo tanto, los elementos de un coset siempre dan el mismo coset cuando se multiplica por el subgrupo.

Ahora vamos a hacer lo mismo para la izquierda cosets de $\lbrace 1,e\rbrace$. De nuevo, ignorar todo, pero el $1$ $e$ columnas, y escanear. Llegamos $aH=\lbrace a,c\rbrace =cH,bH=\lbrace b,d\rbrace =dH$. Y, por supuesto, $eH=H$ desde $e\in H$.

El derecho cosets de $\lbrace 1,d\rbrace$ será similar, pero vas a estar usando las filas $1$ $d$ en lugar de columnas.

Buena suerte, y espero que esta era al menos algo útil!

También, ¿qué libro estás usando? Aprendí todo esto de Artin, pero es posible que usted podría estar recibiendo una perspectiva diferente si usted tiene un libro distinto.

Answer 3

gprime, pensando en cosets en el siguiente contexto puede ayudar. Pierna $G$$\mathbb{R}^3$, el grupo de operación será de adición de vectores. Suponga que desea saber la izquierda cosets de $H$ donde $H$ es una línea recta a través del origen, que, como sabéis, es un subespacio. Usted mira los conjuntos "$x+H$". Fijar un $x$, y vea lo que sucede cuando se agrega $x+h_1$, $x+h_2$, etc. donde $h_1, h_2, ...$ son elementos de $H$. Usted obtiene una línea recta que es paralela a $H$, pero ya no pasa por el origen. Que punto lo hace seguramente pasan a través de? Para uno, $x$, ya que, al ser $H$ un subespacio de $\mathbb{R}^3$, $x+0$ es uno de los elementos de $x+H$. Si cambia el$x$$y$, otro punto que no está en la misma línea recta que es $x+H$, obtendrá la otra línea recta paralela a la $H$. La izquierda cosets (que en este caso son las mismas que las de la derecha cosets, porque la adición de vectores es conmutativa), están todas las líneas rectas paralelas a $H$. Ya que en este caso la izquierda y la derecha cosets son el mismo, todas estas rectas paralelas, formar un grupo de ellos, con el grupo de operación definida simplemente como esta: para agregar dos líneas rectas, acaba de tomar un punto en uno de ellos, otro punto en el otro, y añadir a ellos, y todos los puntos que se puede obtener haciendo esta será una nueva línea recta paralela a la $H$. Este nuevo grupo se llama el cociente grupo. Como su libro de texto dice, sin embargo, no todas a la izquierda cosets tendrá derecho cosets, en cuyo caso no hay ninguna definición de un coeficiente de grupo. Bueno, espero que no me hace peor, pero el ejemplo particular fue muy útil para mí.

Answer 4

Algunas notas generales: la notación G/H se utiliza para denotar el conjunto de la izquierda cosets de H en G. Nota que este es un conjunto cuyos elementos son también conjuntos (en particular, son la izquierda cosets de H). Del mismo modo, la notación H\G se utiliza para denotar el conjunto de la derecha cosets de H en G; de nuevo, esto es un conjunto cuyos elementos son conjuntos.

Por lo tanto, vamos a ver las tres primeras ecuaciones. Por desgracia, la primera de ellas no tiene ningún sentido (OP desde entonces ha editado la primera ecuación), así que vamos a empezar con la segunda.

Notationally, como por lo que escribí anteriormente, {1,a,b} \ {1,a,b,c,d,e} denota el conjunto de la derecha cosets de {1,a,b}. Realmente para calcular esto, se toma cada elemento de H={1,a,b} y se multiplican en el derecho por cada elemento de G={1,a,b,c,d,e}. Así, por ejemplo:

H*1 = {1,a,b}*1 = {1*1,*1 b*1} = {1,a,b} = H

Pero eso es demasiado fácil. Pruebe el elemento a:

H*a = {1,a,b}*a = {1*a, a*, b*a} = {a,b,1} = H, donde estamos usando la tabla de multiplicación dado a la figura de cada uno de estos productos.

Proceder del mismo modo para cada uno de los restantes elementos de G (que son b,c,d,e). Es decir, calcular el cosets H*b, H*c*H d, H*e en exactamente la misma manera que lo hicimos anteriormente. Usted debe encontrar que cada coset es H o {c,d,e}. Por lo tanto, H\G = { H , {c,d,e} }.

Para la tercera ecuación, se desea calcular la izquierda cosets de el subconjunto {1,c}. Hacerlo exactamente como lo he hecho anteriormente, a excepción de recordar a multiplicarse sobre la izquierda.

Para los dos ejemplos que te gustaría ver funcionó una vez más, hemos de proceder exactamente como el anterior. La única diferencia es que el primer ejemplo es el de la izquierda cosets de {1,e}, mientras que el segundo ejemplo es el de la derecha cosets de {1,d}.

Yo recomiendo trabajar a través de estos ejemplos en su propia. Trabajando con cosets puede ser un poco torpe al principio, pero haciendo el trabajo de campo por su propia cuenta es realmente invaluable.

Answer 5

Cosets surgir cuando se desea modelar la idea de que ciertos elementos de un grupo son efectivamente iguales.

Para ver esto, más bien que mirar un coset en un tiempo lo mejor es pensar en todos los posibles cosets de un subgrupo. A continuación, usted encontrará que cosets de la partición de un grupo de $G$ en clases de equivalencia tal que dos elementos de una clase se diferencian por un elemento del subgrupo $H$.

Por ejemplo, a veces, en la teoría de los números no queremos distinguir dos números que difieren en un múltiplo de un número determinado $n$. Decir $n=4$. A continuación, vamos a $G$ el conjunto de los números enteros bajo la suma y la $H$ el conjunto de los múltiplos de $4$. Los cosets de $H$

$$H\cdot 0=\{\ldots,-4,0,4,8,\ldots\}$$ $$H\cdot 1=\{\ldots,-3,1,5,9,\ldots\}$$ $$H\cdot 2=\{\ldots,-2,2,6,10,\ldots\}$$ $$H\cdot 3=\{\ldots,-1,3,7,11,\ldots\}$$ $$H\cdot 4=\{\ldots,0,4,8,12,\ldots\}$$ $$H\cdot 5=\{\ldots,1,5,9,13,\ldots\}$$

Tenga en cuenta que$H\cdot 0 =H\cdot 4$$H\cdot 1 =H\cdot 5$. De hecho, hay sólo $4$ distintos cosets, correspondientes a cada uno de congruencia de la clase de los enteros modulo $4$. Si lo único que nos importa es el resto de un número entero después de la división por $4$, a continuación, todos los elementos en un coset son equivalentes y podemos pensar en ellas como una sola entidad.

Para tomar otro ejemplo, vamos a $G$ ser el grupo de posibles rotaciones de un punto en un círculo unitario y único que nos importa en donde un punto termina en el círculo después de la rotación. A continuación, vamos a $H$ ser rotaciones que son un múltiplo de $2\pi$. Los cosets de $H$ ahora habrá rotaciones, las cuales se diferencian por múltiplos de $2\pi$ y que por tanto tienen el mismo efecto en la posición final del punto de girar.

En general, dos elementos $g_1$ $g_2$ $G$ están definidos para ser equivalente ($g_1 \equiv g_2$) si $g_1 \cdot g_2^{-1} \in H$.

Usted puede probar el siguiente

1. Para todos los $g$ en $G$, $g \equiv g$ dado que el elemento de identidad pertenece a $H$ como es un subgrupo.
2. Si $g_1 \equiv g_2$ $g_2 \equiv g_1$ ya que si un elemento pertenece a $H$, entonces también lo hace su inversa.
3. Si $g_1 \equiv g_2$ $g_2 \equiv g_3$ $g_1 \equiv g_3$ desde $H$ es cerrado bajo la multiplicación.

Este espectáculo que $\equiv$ es una auténtica relación de equivalencia. Definimos la clase de equivalencia de un elemento a $x$ $G$ $$[x]=\{y \in G\mid x \equiv y\}$$

Usted puede demostrar que

1. $x \in [x]$
2. Para cualquier $x,y \in G$, $[x] \cap [y] =\emptyset$ o $[x]=[y]$.

Así que las clases de equivalencia son iguales o distintos y cubren $G$.

Finalmente, de vuelta a cosets. Las clases de equivalencia que hemos definido anteriormente son los mismos que el derecho cosets. Si $y \equiv x$ $yx^{-1}=h$ algunos $h \in H$ o $y=hx$. Por lo $[x]=Hx$. Si nosotros, en cambio, define nuestra relación de equivalencia por la condición de $x^{-1}y \in H$ a continuación, se habría conseguido la izquierda cosets.