Mi libro de texto no da ningún ejemplo de este tipo de series. Podría dar algunas?
Trigonométrica de la serie se define en wikipedia como : $A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}(A_{n} \cos{nx} + B_{n} \sin{nx})$
Cuando
$A_{n}=\frac{1}{\pi} \int^{2 \pi}_0 f(x) \cos{nx} dx\qquad (n=0,1,2,3 \dots)$
$B_{n}=\frac{1}{\pi} \int^{2 \pi}_0 f(x) \sin{nx} dx\qquad (n=1,2,3, \dots)$
Es la serie de fourier.
gracias.
No sé la respuesta (que debo tener! -- ver más abajo), pero en mi opinión, una gran cantidad de personas están interpretando mal la pregunta, así que tal vez vale la pena una respuesta para tratar de arreglar esto.
Aquí está una analogía: trigonométrica de la serie es la serie de Fourier como la potencia de la serie es la serie de Taylor. En otras palabras, un trigonométrica de la serie es cualquier serie de la forma
$A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}(A_{n} \cos{nx} + B_{n} \sin{nx})$
Esto debe ser entendido de manera formal, es decir, este es un trigonométrica de la serie, incluso si no convergen en cualquier lugar. Una serie de fourier es el trigonométrica de la serie asociada a un $L^1$ función mediante la adopción de $A_n$ $B_n$ anterior.
Así como una serie de Taylor necesidad no necesidad de converger en cualquier punto excepto en el punto central, una serie de Fourier no necesitan converger pointwise en cualquier momento. Por lo tanto la serie de Fourier no tiene que ser una función y, en particular, el de la inversión de la transformada de Fourier teorema no es necesario aplicar.
Un teorema de Borel afirma que, dado cualquier secuencia $(a_n)$ de los números reales, existe un $C^{\infty}$-en función de la línea real, cuya serie de Taylor en$0$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$. En particular, si el $a_n$'s crecer demasiado rápido, la serie de Taylor se divergen lejos del cero y la función de $f$ no va a ser analítico.
Yo interpreto la pregunta como preguntando si el análogo de Borel del teorema es cierto para la serie de Fourier: es cada trigonométrica de la serie de la serie de Fourier de algunas $L^1$ función (incluso si el trigonométrica de la serie no converge a la función)?
P. S.: Boo a la wikipedia para hacer valer la respuesta a esta pregunta, sin dar una referencia.
Anexo: Como Pierre-Yves Gaillard, los coeficientes de Fourier de cualquier $L^1$ función de $f$ son uniformemente acotadas (por $||f||_1$), por lo que este responde a la pregunta como he interpretado.
Un ejemplo estándar es $$ f(t)= \sum_{n>1} \frac{\sin(nt)}{\log(n)}$$ El conjugado de a $f$ es una serie de Fourier, sino $f\not\in L^1(\mathbb{T})$ y, por tanto, no es la serie de Fourier. Para una explicación más detallada ver Katznelson del libro de la página 85.
(Edit: Si $f$ no $L^1(\mathbb{T})$ es difícil definir los coeficientes de Fourier.
Añadido 29/8 - 2010
Aquí es un volcado de pantalla de Zygmund del libro "Trigonométrica de la Serie Vol I"
.
Sin embargo, con el fin de ser una serie de Fourier de los coeficientes son los coeficientes de Fourier de una función $f$, estos son bien definidos si $f\in L^1(\mathbb{T})$ (debido a que estos se calculan mediante la integración en contra de un acotado medible de la función). Por lo tanto es natural definir un trigonométrica de la serie si los coeficientes son los coeficientes de Fourier de algunas $L^1$ función. Por lo tanto, todas las respuestas dadas a este problema está en el hecho, a la derecha!
Por otra parte, la de Riemann-Lebesgue Lema establece que los coeficientes de Fourier de una $L^1$-función tiende a $0$ como el enfoque de índice de $\pm\infty$. Por lo tanto, es fácil construir formal trigonométrica de la serie que no son series de Fourier.
El ejemplo $f$ dada anteriormente no en el hecho de que convergen en todas partes y por lo tanto esto es una especie de no-trivial ejemplo de un trigonométrica de la serie que no es una serie de Fourier.
El uso de Riemann-Lebesgue lema podemos dar el ejemplo de un trigonométrica de la serie que no es una serie de Fourier. por ejemplo,$\sum_{n=1}^{\infty}\cos nx$ no es una serie de Fourier como su coeficiente no tiende a cero. Para entender mejor sobre este tema me permito sugerir que usted prefiere Bary( Vol.1) libro.
Echa un vistazo a esta punta de wikipedia. Un trigonométrica de la serie, que no es una serie de Fourier, por lo tanto debe ser uno que se define por
$$ f(x) = A_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(A_{n} \cos{nx} + B_{n} \sin{nx}) $$
para que las relaciones
$$ A_{0}=\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int^{2 \pi}_0 f(x)\,dx $$
$$ A_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int^{2 \pi}_0 f(x) \cos{nx} \,dx\qquad (n=1,2,3 \dots)$$
$$B_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int^{2 \pi}_0 f(x) \sin{nx}\, dx\qquad (n=0,1,2,3, \dots)$$
¿ no se sostenga. Pero desde entonces {$\sin(nx),\cos(nx)$} forma una completa base ortonormales, no me imagino a uno. Excepto para un no-convergente tal vez uno...
editar Como J. Mangaldan señaló: Lacunary trigonométrica de la serie podría ser la respuesta que busca, es decir, de la serie que no pueden ser analíticamente.
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